Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da expressão
As informações relevantes são:
- A variável se aproxima de
: . - A função dada é
.
A pergunta é: qual é o valor de?
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica quando
. Para
pode-se cancelar
no numerador e no denominador:
Explicação curta: em limites o que importa é o comportamento para
próximo de
(mas não necessariamente
), portanto é legítimo simplificar a expressão para
.
Passo 3
Usamos as propriedades de limite: o limite do produto é o produto dos limites (quando existem). Assim
A função seno é contínua em
, isto é,
. Aplicando isso com
(quando
,
), obtemos
Logo
Passo 4
(Método alternativo — útil para entender a ideia de pequena-angulo)
Usando o limite conhecido , faça
. Então
Usando o limite conhecido
Ao tomar limite,
Esse método reforça que o fator linear em
anula o limite.
Passo 5
Conclusão final e incentivo: o limite existe e vale
. Bom trabalho — você já entendeu duas maneiras de ver o mesmo resultado (simplificação algébrica + continuidade, e usando o limite
). Segura essa cabeça: está indo bem!