Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2} \operatorname{sen} 5 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{2 x^{2} \operatorname{sen}(5x)}{x^{2}}.
As informações relevantes são:
  • A variável se aproxima de 0: x \to 0.
  • A função dada é \dfrac{2 x^{2} \operatorname{sen}(5x)}{x^{2}}.
    A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2 x^{2} \operatorname{sen}(5x)}{x^{2}}?

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica quando x\neq 0. Para x\neq 0 pode-se cancelar x^{2} no numerador e no denominador:
\frac{2 x^{2} \operatorname{sen}(5x)}{x^{2}} = 2\,\operatorname{sen}(5x),\qquad (x\neq 0).
Explicação curta: em limites o que importa é o comportamento para x próximo de 0 (mas não necessariamente x=0), portanto é legítimo simplificar a expressão para x\neq 0.

Passo 3

Usamos as propriedades de limite: o limite do produto é o produto dos limites (quando existem). Assim
\lim_{x\to 0}2\,\operatorname{sen}(5x) = 2\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}(5x).
A função seno é contínua em 0, isto é, \lim_{t\to 0}\operatorname{sen}(t)=\operatorname{sen}(0)=0. Aplicando isso com t=5x (quando x\to 0, t=5x\to 0), obtemos
\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}(5x)=\operatorname{sen}(0)=0.
Logo
\lim_{x\to 0}2\,\operatorname{sen}(5x)=2\cdot 0=0.

Passo 4

(Método alternativo — útil para entender a ideia de pequena-angulo)
Usando o limite conhecido \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1, faça u=5x. Então
2\operatorname{sen}(5x)=2\cdot(5x)\cdot\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}.
Ao tomar limite,
\lim_{x\to 0}2\operatorname{sen}(5x)=\lim_{x\to 0}10x\cdot\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}= \left(\lim_{x\to 0}10x\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}\right)=0\cdot 1=0.
Esse método reforça que o fator linear em x anula o limite.

Passo 5

Conclusão final e incentivo: o limite existe e vale 0. Bom trabalho — você já entendeu duas maneiras de ver o mesmo resultado (simplificação algébrica + continuidade, e usando o limite \sin t/t\to 1). Segura essa cabeça: está indo bem!

Resposta

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