Calcule os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O limite é quando
tende para .
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): quando se calcula limite de uma razão de polinômios para
, os termos de maior grau dominam o comportamento da expressão. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a razão cresce em módulo como uma potência de
e o limite será infinito (com sinal determinado pelos coeficientes principais). Uma forma prática de tornar isso formal é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador ou no numerador.
Regra curta:
- Se
então , com o sinal dado pelo sinal do coeficiente líder de dividido pelo coeficiente líder de .
Passo 3
Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por
(a maior potência do denominador), para ver claramente o crescimento em
:
Passo 4
Reescrevendo o numerador fatorando
:
Agora faça o limite termo a termo das frações que envolvem potências negativas de
: quando
vale
Logo os parênteses tendem a constantes:
Passo 5
Com isso, para
grande a expressão comporta-se como
onde
denota termos que tendem a
. Como
e
, a expressão tende para
.
Justificação do sinal: o denominador aproxima-se de
para
, e o fator dominante no numerador é
com coeficiente
; portanto a razão é positiva para
suficientemente grande e cresce sem bound. (Isto confirma que o limite é
.)