Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{6}-3 x^{4}+5 x+1}{3 x^{5}+4 x^{3}-3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^{6}-3x^{4}+5x+1}{3x^{5}+4x^{3}-3}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 4x^{6}-3x^{4}+5x+1.
  • O denominador é o polinômio 3x^{5}+4x^{3}-3.
  • O limite é quando x tende para \infty.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando se calcula limite de uma razão de polinômios para x\to\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento da expressão. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a razão cresce em módulo como uma potência de x e o limite será infinito (com sinal determinado pelos coeficientes principais). Uma forma prática de tornar isso formal é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador ou no numerador.
Regra curta:
  • Se \deg(P)>\deg(Q) então \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\pm\infty, com o sinal dado pelo sinal do coeficiente líder de P dividido pelo coeficiente líder de Q.

Passo 3

Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por x^{5} (a maior potência do denominador), para ver claramente o crescimento em x:
\frac{4x^{6}-3x^{4}+5x+1}{3x^{5}+4x^{3}-3} = \frac{4x-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{5}}}{3+\dfrac{4}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{5}}}.

Passo 4

Reescrevendo o numerador fatorando x:
\frac{4x-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{5}}}{3+\dfrac{4}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{5}}} = \frac{x\!\left(4-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{5}}+\dfrac{1}{x^{6}}\right)}{3+\dfrac{4}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{5}}}.
Agora faça o limite termo a termo das frações que envolvem potências negativas de x: quando x\to\infty vale
\frac{3}{x}\to 0,\quad \frac{4}{x^{2}}\to 0,\quad \frac{5}{x^{4}}\to 0,\quad \frac{1}{x^{5}}\to 0,\\ \text{etc.}
Logo os parênteses tendem a constantes:
4-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{5}{x^{5}}+\dfrac{1}{x^{6}}\longrightarrow 4, \qquad 3+\dfrac{4}{x^{2}}-\dfrac{3}{x^{5}}\longrightarrow 3.

Passo 5

Com isso, para x grande a expressão comporta-se como
\frac{x\cdot(4+\text{o}(1))}{3+\text{o}(1)}\sim \frac{4}{3}\,x,
onde \text{o}(1) denota termos que tendem a 0. Como \dfrac{4}{3}>0 e x\to\infty, a expressão tende para +\infty.
Justificação do sinal: o denominador aproxima-se de 3>0 para x\to\infty, e o fator dominante no numerador é 4x com coeficiente 4>0; portanto a razão é positiva para x suficientemente grande e cresce sem bound. (Isto confirma que o limite é +\infty.)

Resposta

+\infty

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