Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{-x}\operatorname{sen}(x).
Informações dadas pelo enunciado:
  • A função em questão é o produto de e^{-x} e \operatorname{sen}(x).
  • O valor de x tende para +\infty.
    Não se pede mais nada além de encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Propriedade útil sobre \operatorname{sen}(x): para todo x\in\mathbb{R} vale
-1 \le \operatorname{sen}(x) \le 1.
Explicação didática: a função seno oscila entre -1 e 1 — nunca ultrapassa esses valores. Essa é uma informação básica e verdadeira para qualquer x.

Passo 3

Multiplicando a desigualdade da etapa anterior por e^{-x}. Antes, atenção: para todo x temos e^{-x}>0, então a ordem das desigualdades não se inverte ao multiplicar. Assim obtemos
-e^{-x} \le e^{-x}\operatorname{sen}(x) \le e^{-x}.
Aqui cada termo significa:
  • e^{-x}\operatorname{sen}(x) é a função cujo limite queremos.
  • -e^{-x} e e^{-x} são funções que servirão de limites inferior e superior.

Passo 4

Analisar o comportamento das funções -e^{-x} e e^{-x} quando x\to\infty. Observe que
e^{-x}=\frac{1}{e^{x}},
e como e^{x}\to\infty quando x\to\infty, segue que
\lim_{x\to\infty} e^{-x} = 0.
Logo também
\lim_{x\to\infty} -e^{-x} = 0.
Explicação: a exponencial positiva cresce muito rápido, portanto sua recíproca e^{-x} decai para zero.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). O teorema diz: se para todas as x suficientemente grandes vale
g(x)\le f(x)\le h(x)
e se \lim_{x\to\infty} g(x)=\lim_{x\to\infty} h(x)=L, então \lim_{x\to\infty} f(x)=L.
No nosso caso temos, para todo x,
-e^{-x} \le e^{-x}\operatorname{sen}(x) \le e^{-x},
e das contas do passo anterior \lim_{x\to\infty} -e^{-x}=0 e \lim_{x\to\infty} e^{-x}=0. Pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to\infty} e^{-x}\operatorname{sen}(x)=0.

Passo 6

Prova \varepsilon-formal (opcional, para consolidar): seja \varepsilon>0 dado. Queremos mostrar que existe M tal que para todo x>M vale |e^{-x}\operatorname{sen}(x)-0|<\varepsilon. Note que
|e^{-x}\operatorname{sen}(x)| \le e^{-x}.
Escolha M=\ln\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right). Para x>M temos e^{-x}<\varepsilon, então
|e^{-x}\operatorname{sen}(x)| \le e^{-x} < \varepsilon.
Isso mostra diretamente que o limite é 0.

Resposta

0

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