Calcule os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas pelo enunciado:
- A função em questão é o produto de
e . - O valor de
tende para .
Não se pede mais nada além de encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Propriedade útil sobre
: para todo
vale
Explicação didática: a função seno oscila entre
e
— nunca ultrapassa esses valores. Essa é uma informação básica e verdadeira para qualquer
.
Passo 3
Multiplicando a desigualdade da etapa anterior por
. Antes, atenção: para todo
temos
, então a ordem das desigualdades não se inverte ao multiplicar. Assim obtemos
Aqui cada termo significa:
-
é a função cujo limite queremos. -
e são funções que servirão de limites inferior e superior.
Passo 4
Analisar o comportamento das funções
e
quando
. Observe que
e como
quando
, segue que
Logo também
Explicação: a exponencial positiva cresce muito rápido, portanto sua recíproca
decai para zero.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). O teorema diz: se para todas as
suficientemente grandes vale
e se
, então
.
No nosso caso temos, para todo
,
e das contas do passo anterior
e
. Pelo Teorema do Confronto segue que
Passo 6
Prova
-formal (opcional, para consolidar): seja
dado. Queremos mostrar que existe
tal que para todo
vale
. Note que
Escolha
. Para
temos
, então
Isso mostra diretamente que o limite é
.