Resolva as integrais indefinidas:
\int 2 x^{6}+\frac{8}{x^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int 2 x^{6}+\frac{8}{x^{5}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração é x.
  • Temos uma soma dentro da integral: uma parcela polinomial 2x^{6} e uma parcela racional \dfrac{8}{x^{5}}.
  • Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função cuja derivada seja 2x^{6}+\dfrac{8}{x^{5}}. No final devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a integral de uma soma é a soma das integrais e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Ou seja, para funções f e g e constante a,
\int \big(f(x)+g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx, \qquad \int a\,h(x)\,dx = a\int h(x)\,dx.
Além disso usaremos a regra da potência para integrais: para qualquer real n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável e n é o expoente; a fórmula vem de inverter a regra da derivada de potência.

Passo 3

Preparar as parcelas para aplicar a regra da potência. A segunda parcela \dfrac{8}{x^{5}} é a mesma que 8x^{-5}. Assim podemos escrever a integral como soma de duas integrais:
\int 2x^{6}+\frac{8}{x^{5}}\,dx = \int 2x^{6}\,dx + \int 8x^{-5}\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral \int 2x^{6}\,dx. Puxando o 2 para fora e aplicando a regra da potência com n=6:
\int 2x^{6}\,dx = 2\int x^{6}\,dx = 2\cdot\frac{x^{6+1}}{6+1} = 2\cdot\frac{x^{7}}{7} = \frac{2}{7}x^{7}.
Explanação: elevou-se o expoente de 6 para 7 e dividiu-se por esse novo expoente; o 2 multiplicou o resultado.

Passo 5

Calcular a segunda integral \int 8x^{-5}\,dx. Puxando o 8 para fora e aplicando a regra da potência com n=-5:
\int 8x^{-5}\,dx = 8\int x^{-5}\,dx = 8\cdot\frac{x^{-5+1}}{-5+1} = 8\cdot\frac{x^{-4}}{-4} = 8\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)x^{-4} = -2x^{-4}.
Explicação: quando n=-5 obtemos n+1=-4 no numerador e dividimos por -4; 8/(-4) = -2.

Passo 6

Juntando as duas antiderivadas e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva da função original (vou apresentar a forma final simplificada na seção de resposta).

Resposta

\dfrac{2}{7}x^{7}-2x^{-4}+C = \dfrac{2}{7}x^{7}-\dfrac{2}{x^{4}}+C

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