Resolva as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração é
. - Temos uma soma dentro da integral: uma parcela polinomial
e uma parcela racional . - Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função cuja derivada seja
. No final devemos acrescentar a constante de integração .
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática): a integral de uma soma é a soma das integrais e constantes podem ser puxadas para fora da integral. Ou seja, para funções
e
e constante
,
Além disso usaremos a regra da potência para integrais: para qualquer real
com
,
Aqui
é a variável e
é o expoente; a fórmula vem de inverter a regra da derivada de potência.
Passo 3
Preparar as parcelas para aplicar a regra da potência. A segunda parcela
é a mesma que
. Assim podemos escrever a integral como soma de duas integrais:
Passo 4
Calcular a primeira integral
. Puxando o
para fora e aplicando a regra da potência com
:
Explanação: elevou-se o expoente de
para
e dividiu-se por esse novo expoente; o
multiplicou o resultado.
Passo 5
Calcular a segunda integral
. Puxando o
para fora e aplicando a regra da potência com
:
Explicação: quando
obtemos
no numerador e dividimos por
;
.
Passo 6
Juntando as duas antiderivadas e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva da função original (vou apresentar a forma final simplificada na seção de resposta).