Resolva as integrais indefinidas:
\int x^{2}-5 x+3 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2}-5 x+3\, dx.
Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}-5x+3. Informação dada: o integrando é um polinômio de grau 2. O resultado deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente,
\int\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx+\int h(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Vou aplicar isso ao integrando separando os termos x^{2}, -5x e 3.

Passo 3

Regra básica (regra da potência) para integrar potências de x:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad\text{para }n\neq -1,
onde n é um número real e C é a constante de integração. Aqui n é o expoente da potência de x. Vou usar isso com n=2 e n=1. Para constantes, lembra que
\int a\,dx = a x + C,
com a constante.

Passo 4

Aplicando linearidade e as regras acima:
\int x^{2}-5x+3\,dx = \int x^{2}\,dx -5\int x\,dx + \int 3\,dx.
Agora calculo cada parte:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
pois aqui n=2 e \dfrac{x^{2+1}}{2+1}=\dfrac{x^{3}}{3}.
-5\int x\,dx = -5\cdot\frac{x^{2}}{2} = -\frac{5x^{2}}{2},
pois \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}.
\int 3\,dx = 3x,
pois a integral de uma constante 3 é 3x.

Passo 5

Somando as partes e adicionando a constante de integração C, obtemos
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{5x^{2}}{2}+3x+C.
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando F(x),
F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{5x^{2}}{2}\right)+\frac{d}{dx}(3x)+\frac{d}{dx}C = x^{2}-5x+3,
que é exatamente o integrando. Portanto está correto. Força aí — essa é a técnica padrão para polinômios: separar termos, usar a regra da potência e juntar com C.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{5x^{2}}{2}+3x+C

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