Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to 0} x\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações dadas pelo enunciado:
\text{a expressão é }x\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\quad\text{e devemos estudar o comportamento quando }x\to 0.ãé

Passo 2

Fato útil e simples (vou explicar com calma): para qualquer número real t temos
-1 \le \sin(t) \le 1.
Por que isso vale? Porque a função \sin mede a ordenada de um ponto no círculo unitário; essa ordenada nunca sai do intervalo [-1,1]. Esse é um resultado básico e você pode confiar nele sem cálculo complicado.

Passo 3

Agora vamos usar esse fato com t=\dfrac{1}{x}. Como -1\le \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\le 1, tomando valor absoluto obtemos
\left|\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por |x| (sempre não-negativo) fica
|x|\left|\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le |x|.
Pelo fato de |ab|=|a||b|, isso é exatamente
\left|x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le |x|.
Da desigualdade em valor absoluto segue a desigualdade sem valor absoluto:
-\,|x|\le x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\le |x|.

Passo 4

Vamos usar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Ele diz: se temos funções g(x)\le f(x)\le h(x) para x próximos de um ponto e
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Aqui g(x)=-|x|, f(x)=x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) e h(x)=|x| satisfazem g(x)\le f(x)\le h(x) perto de 0, como demonstramos.

Passo 5

Calculemos os limites das funções que encostam f:
\lim_{x\to 0} -|x| = 0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} |x| = 0,
porque |x|\to 0 quando x\to 0. Como ambas as funções-limite são iguais a 0, o Teorema do Confronto garante que
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 6

Intuição rápida e motivadora: \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) oscila muito quando x se aproxima de 0, mas suas oscilações ficam sempre entre -1 e 1. Multiplicar essa oscilação por x faz com que a amplitude das oscilações vá para zero — por isso o produto tende a zero. Num exemplo numérico: para x=0{,}01 temos |x\sin(1/x)|\le 0{,}01, que já é bem pequeno.

Resposta

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