Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)}{1-x}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to 1} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{1-x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função no numerador é \cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right).
  • O denominador é 1-x.
  • A variável tende para x=1.
  • Ao substituir x=1 diretamente, o numerador vale \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e o denominador vale 0. Então temos uma forma indeterminada do tipo 0/0.

Passo 2

Vou transformar a expressão para eliminar a indeterminação de forma simples, usando identidades trigonométricas e uma substituição. Primeiro, note que podemos escrever \cos deslocado pela metade de \pi:
\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi(x-1)}{2}\right).
Agora uso a fórmula de soma no cosseno: \cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b. Aplicando com a=\frac{\pi}{2} e b=\frac{\pi(x-1)}{2},
\cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi(x-1)}{2}\right) = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\pi(x-1)}{2}\right) - \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{\pi(x-1)}{2}\right).
Como \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, isso dá
\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi(x-1)}{2}\right).

Passo 3

Substituo esse resultado no quociente original. Lembro que 1-x=-(x-1). Assim,
\frac{\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{1-x} = \frac{-\sin\!\left(\frac{\pi(x-1)}{2}\right)}{-(x-1)} = \frac{\sin\!\left(\frac{\pi(x-1)}{2}\right)}{x-1}.
Essa forma já parece melhor: o sinal cancelou e agora aparece uma razão do tipo \dfrac{\sin(\text{algo})}{\text{algo}}, que é a forma clássica pra tirar indeterminações.

Passo 4

Faço a substituição direta para expor a forma padrão. Defino
u = \frac{\pi}{2}(x-1).
Então \,x-1=\frac{2u}{\pi}. Reescrevendo a expressão do Passo 3 em termos de u,
\frac{\sin\!\left(\frac{\pi(x-1)}{2}\right)}{x-1} = \frac{\sin u}{\tfrac{2u}{\pi}} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sin u}{u}.
Quando x\to 1 temos u\to 0. Portanto o limite desejado fica
\lim_{x\to 1} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{1-x} = \frac{\pi}{2}\cdot \lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u}.

Passo 5

Agora uso o limite fundamental
\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u} = 1.
Vou justificar rapidamente esse fato com uma versão clássica por desigualdades (squeeze): para u real e pequeno positivo (a argumentação estende-se por simetria ao negativo),
temos a desigualdade geométrica bem conhecida
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1.
(A derivação usuais dessas desigualdades vem da comparação entre áreas de setor circular, triângulo inscrito e triângulo circunscrito, mas aqui aceitamos essa desigualdade clássica.) Como \lim_{u\to 0}\cos u = 1 e o lado superior é 1, pelo princípio do “squeeze” (teorema do confronto) segue que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1.

Passo 6

Usando o resultado do Passo 5 na expressão do Passo 4, obtemos
\lim_{x\to 1} \frac{\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}{1-x} = \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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