Sabendo que altura de coelhos ( X ), é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 18 cm e variância 9 \mathrm{~cm}^{2}, determine:
a) Qual a probabilidade de que um coelho, selecionado aleatoriamente, tenha altura superior a 15 cm ?
b) Qual a probabilidade de que um coelho tenha altura entre 12 e 21 cm ?
c) Qual a altura mínima para estar entre os 20 \% coelhos mais altos?

Passo 1

O enunciado dá que a altura dos coelhos X é uma variável aleatória com distribuição normal, com média e variância conhecidas. As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade de um coelho ter altura superior a 15 cm?
(b) Qual a probabilidade de um coelho ter altura entre 12 cm e 21 cm?
(c) Qual a altura mínima para estar entre os 20\% coelhos mais altos?
As informações relevantes fornecidas são:
X \sim N(18,\,9),
ou seja \mu=18 (média) e \sigma^{2}=9 (variância).

Passo 2

Calcular o desvio-padrão a partir da variância. Explico rápido o porquê: variância é \sigma^2, então o desvio-padrão \sigma é a raiz quadrada da variância.
\sigma=\sqrt{9}=3.
Agora temos \mu=18 e \sigma=3, que usaremos para padronizar e consultar a tabela da normal padrão.

Passo 3

Vou explicar a padronização — é o truque chave para usar a tabela da normal padrão. Se X é normal com média \mu e desvio \sigma, definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Então Z tem distribuição normal padrão, com média 0 e desvio 1. A vantagem: probabilidades sobre X viram probabilidades sobre Z, e podemos usar a tabela (ou calculadora) da normal padrão \Phi(z)=P(Z\le z). Também usaremos a propriedade de simetria:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Com isso, vamos transformar cada pedido em termos de Z.

Passo 4

Resolver (a): queremos P(X>15).
  1. Padronizo o limite 15:
z=\frac{15-18}{3}=\frac{-3}{3}=-1.
  1. Então
P(X>15)=P\!\left(Z>-1\right).
  1. Usando simetria e definição de \Phi:
P\!\left(Z>-1\right)=1-P\!\left(Z\le -1\right)=1-\Phi(-1).
Mas \Phi(-1)=1-\Phi(1), logo
P\!\left(Z>-1\right)=1-(1-\Phi(1))=\Phi(1).
  1. Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), temos \Phi(1)=0,8413. Portanto
P(X>15)=0,8413.

Passo 5

Comentário pedagógico rápido: quando o z-score é negativo, é mais fácil usar a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) para transformar em valores positivos da tabela, que normalmente dão \Phi(z) para z\ge0.

Passo 6

Resolver (b): queremos P(12<X<21).
  1. Padronizo os dois limites:
z_1=\frac{12-18}{3}=\frac{-6}{3}=-2,\qquad z_2=\frac{21-18}{3}=\frac{3}{3}=1.
  1. Transformo em probabilidades de Z:
P(12<X<21)=P(-2<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-2).
  1. Uso simetria para \Phi(-2):
\Phi(-2)=1-\Phi(2).
  1. Consultando a tabela: \Phi(1)=0,8413 e \Phi(2)=0,9772. Então
\Phi(-2)=1-0,9772=0,0228.
  1. Assim
P(12<X<21)=0,8413-0,0228=0,8185.

Passo 7

Resolver (c): queremos a altura mínima h que separa os 20\% coelhos mais altos. Isso significa que P(X>h)=0,20. Equivalente a P(X\le h)=0,80.
  1. Em termos de Z, buscamos o quantil z_{0,80} tal que
\Phi(z_{0,80})=0,80.
  1. Pela tabela inversa da normal padrão (ou função quantil), o valor aproximado é z_{0,80}\approx 0,8416.
  2. Convertendo de volta para X:
h=\mu+\sigma z_{0,80}=18+3\cdot 0,8416=18+2,5248=20,5248\\ \text{cm}.
  1. Arredondando razoavelmente (por exemplo três casas decimais), h\approx 20,525\\ \text{cm}. Isso significa que os 20\% coelhos mais altos têm altura maior que aproximadamente 20,525 cm.

Resposta

(a) \,0,8413
(b) \,0,8185
(c) \,20,525\\ \text{cm}

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