Sabendo que altura de coelhos (
), é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 18 cm e variância
, determine:
a) Qual a probabilidade de que um coelho, selecionado aleatoriamente, tenha altura superior a 15 cm ?
b) Qual a probabilidade de que um coelho tenha altura entre 12 e 21 cm ?
c) Qual a altura mínima para estar entre os
coelhos mais altos?
a) Qual a probabilidade de que um coelho, selecionado aleatoriamente, tenha altura superior a 15 cm ?
b) Qual a probabilidade de que um coelho tenha altura entre 12 e 21 cm ?
c) Qual a altura mínima para estar entre os
Passo 1
O enunciado dá que a altura dos coelhos
é uma variável aleatória com distribuição normal, com média e variância conhecidas. As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade de um coelho ter altura superior a cm?
(b) Qual a probabilidade de um coelho ter altura entre cm e
cm?
(c) Qual a altura mínima para estar entre os coelhos mais altos?
(a) Qual a probabilidade de um coelho ter altura superior a
(b) Qual a probabilidade de um coelho ter altura entre
(c) Qual a altura mínima para estar entre os
As informações relevantes fornecidas são:
ou seja
(média) e
(variância).
Passo 2
Calcular o desvio-padrão a partir da variância. Explico rápido o porquê: variância é
, então o desvio-padrão
é a raiz quadrada da variância.
Agora temos
e
, que usaremos para padronizar e consultar a tabela da normal padrão.
Passo 3
Vou explicar a padronização — é o truque chave para usar a tabela da normal padrão. Se
é normal com média
e desvio
, definimos
Então
tem distribuição normal padrão, com média
e desvio
. A vantagem: probabilidades sobre
viram probabilidades sobre
, e podemos usar a tabela (ou calculadora) da normal padrão
. Também usaremos a propriedade de simetria:
Com isso, vamos transformar cada pedido em termos de
.
Passo 4
Resolver (a): queremos
.
- Padronizo o limite
:
- Então
- Usando simetria e definição de
:
Mas
, logo
- Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), temos
. Portanto
Passo 5
Comentário pedagógico rápido: quando o
-score é negativo, é mais fácil usar a simetria
para transformar em valores positivos da tabela, que normalmente dão
para
.
Passo 6
Resolver (b): queremos
.
- Padronizo os dois limites:
- Transformo em probabilidades de
:
- Uso simetria para
:
- Consultando a tabela:
e . Então
- Assim
Passo 7
Resolver (c): queremos a altura mínima
que separa os
coelhos mais altos. Isso significa que
. Equivalente a
.
- Em termos de
, buscamos o quantil tal que
-
Pela tabela inversa da normal padrão (ou função quantil), o valor aproximado é
. -
Convertendo de volta para
:
- Arredondando razoavelmente (por exemplo três casas decimais),
. Isso significa que os coelhos mais altos têm altura maior que aproximadamente cm.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)