Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow 0} x^{6} \operatorname{sen}\left(\frac{2}{x^{2}}\right)

Passo 1

Enunciado: calcular o limite quando x \to 0 da função x^{6}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right).
O que o problema pede: encontrar
\lim_{x\to 0} x^{6}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right).
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
\text{o função é }f(x)=x^{6}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right)\quad\text{e a variável }x\text{ tende a }0.çãéá

Passo 2

Propriedade importante sobre a função seno: para todo número real t vale a desigualdade
-1 \le \sin t \le 1.
Isso significa que a função seno nunca passa de 1 nem fica abaixo de -1. É uma informação simples, mas poderosa: independente de quão oscilante seja o argumento de \sin, o valor da própria \sin está sempre preso entre -1 e 1.

Passo 3

Aplicando a desigualdade do passo anterior ao argumento t=\dfrac{2}{x^{2}}, obtemos
-1 \le \sin\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right) \le 1.
Agora observe que x^{6} é sempre não negativo (para todo x real, x^{6}\ge 0). Como estamos multiplicando uma desigualdade por uma quantidade não negativa, a desigualdade preserva a ordem. Multiplicando todos os termos por x^{6} obtemos
-x^{6} \le x^{6}\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right) \le x^{6}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que ficam nos extremos do intervalo:
\lim_{x\to 0} (-x^{6}) = 0
e
\lim_{x\to 0} x^{6} = 0.
Explicação didática: x^{6} é uma potência polinomial com expoente positivo; quando x\to 0, x^{6} tende a 0. O mesmo vale para -x^{6}, que tende a 0 com sinal negativo, mas o limite é 0. Não precisamos de calculadora nem de coisas complicadas: para qualquer inteiro n>0, \lim_{x\to 0} x^{n}=0.

Passo 5

Aplicação do Teorema do Sanduíche (Teorema da Convergência por Aperto): se uma função g(x) satisfaz
\ell(x) \le g(x) \le u(x)
para x próximos de um ponto e \lim_{x\to a}\ell(x)=\lim_{x\to a}u(x)=L, então \lim_{x\to a}g(x)=L.
No nosso caso tomamos
\ell(x)=-x^{6},\quad g(x)=x^{6}\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right),\quad u(x)=x^{6},
e vimos que \lim_{x\to 0}\ell(x)=\lim_{x\to 0}u(x)=0. Pelo Teorema do Sanduíche segue que
\lim_{x\to 0} x^{6}\sin\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right)=0.

Passo 6

Comentário extra para fixar a ideia (estilo “como fazer na prova”): sempre que você tiver uma função muito oscilante como \sin(\text{algo que explode}) multiplicada por um fator que vai para zero, tente usar o fato -1\le \sin(\cdot)\le 1 e aplicar o Teorema do Sanduíche. Exemplo simples parecido: \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)=0, pelas mesmas razões.

Resposta

0

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