Calcule os limites
Passo 1
Enunciado: calcular o limite quando
da função
.
O que o problema pede: encontrar
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
Passo 2
Propriedade importante sobre a função seno: para todo número real
vale a desigualdade
Isso significa que a função seno nunca passa de
nem fica abaixo de
. É uma informação simples, mas poderosa: independente de quão oscilante seja o argumento de
, o valor da própria
está sempre preso entre
e
.
Passo 3
Aplicando a desigualdade do passo anterior ao argumento
, obtemos
Agora observe que
é sempre não negativo (para todo
real,
). Como estamos multiplicando uma desigualdade por uma quantidade não negativa, a desigualdade preserva a ordem. Multiplicando todos os termos por
obtemos
Passo 4
Calcular os limites das funções que ficam nos extremos do intervalo:
e
Explicação didática:
é uma potência polinomial com expoente positivo; quando
,
tende a
. O mesmo vale para
, que tende a
com sinal negativo, mas o limite é
. Não precisamos de calculadora nem de coisas complicadas: para qualquer inteiro
,
.
Passo 5
Aplicação do Teorema do Sanduíche (Teorema da Convergência por Aperto): se uma função
satisfaz
para
próximos de um ponto e
, então
.
No nosso caso tomamos
e vimos que
. Pelo Teorema do Sanduíche segue que
Passo 6
Comentário extra para fixar a ideia (estilo “como fazer na prova”): sempre que você tiver uma função muito oscilante como
multiplicada por um fator que vai para zero, tente usar o fato
e aplicar o Teorema do Sanduíche. Exemplo simples parecido:
, pelas mesmas razões.