Mostre que as séries abaixo são convergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos \left(e^{k^{2}+2}\right)-\sin \left(\ln \left(k^{4}+k^{2}+4\right)\right)}{k!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\!\left(e^{k^{2}+2}\right)-\sin\!\left(\ln\!\left(k^{4}+k^{2}+4\right)\right)}{k!}
e pede que mostremos que ela é convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar (apenas listando, sem resolver ainda):
  • Os termos da soma envolvem \cos(\cdot) e \sin(\cdot), funções trigonométricas avaliadas em números reais.
  • O denominador é k! (fatorial), que cresce muito rápido com k.
  • Precisamos decidir convergência da série (saber se a soma infinita faz sentido).

Passo 2

Propriedade básica das funções seno e cosseno (aula expressa de maneira simples):
  • Para qualquer número real x vale -1\le \cos(x)\le 1 e -1\le \sin(x)\le 1.
    Isto é consequência da definição geométrica/analítica de seno e cosseno: seus valores estão sempre entre -1 e 1. Aqui não importa o argumento (pode ser e^{k^{2}+2} ou \ln(k^{4}+k^{2}+4)), a propriedade vale para qualquer argumento real.

Passo 3

Use a desigualdade triangular e o item anterior para controlar o numerador. Para o k-ésimo termo a_k da série, escrevemos
a_k=\frac{\cos\!\left(e^{k^{2}+2}\right)-\sin\!\left(\ln\!\left(k^{4}+k^{2}+4\right)\right)}{k!}.
Aplicando o valor absoluto e a desigualdade triangular,
\left|a_k\right|=\frac{\left|\cos\!\left(e^{k^{2}+2}\right)-\sin\!\left(\ln\!\left(k^{4}+k^{2}+4\right)\right)\right|}{k!} \le \frac{\left|\cos\!\left(e^{k^{2}+2}\right)\right|+\left|\sin\!\left(\ln\!\left(k^{4}+k^{2}+4\right)\right)\right|}{k!}.
Pelo passo anterior, cada valor absoluto de seno ou cosseno é no máximo 1, portanto
\left|a_k\right|\le \frac{1+1}{k!}=\frac{2}{k!}.

Passo 4

Agora precisamos usar que a série de comparação \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{k!} converge. Explicando por que:
  • A série \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k!} é a série da exponencial e converge (o seu somatório é e). Logo
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e-1<\infty.
  • Multiplicar por 2 não muda a convergência: \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{k!}=2\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}=2(e-1), que é finito.
Se preferir uma justificativa alternativa rápida: pelo teste da razão, para b_k=\dfrac{1}{k!} temos
\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{1/(k+1)!}{1/k!}=\frac{1}{k+1}\xrightarrow[k\to\infty]{}0<1,
logo a série \sum b_k converge; por isso \sum 2b_k também converge.

Passo 5

Aplicamos o teste da comparação absoluta (explicando o conceito):
  • Se \lvert a_k\rvert \le b_k para todo k e \sum b_k converge com b_k\ge 0, então \sum a_k converge absolutamente (isto é, \sum \lvert a_k\rvert converge), e portanto \sum a_k converge.
    No nosso caso, tomamos b_k=\dfrac{2}{k!}. Pelo Passo 3 temos \lvert a_k\rvert\le b_k e pelo Passo 4 \sum b_k converge. Logo \sum a_k converge absolutamente.

Passo 6

Conclusão e interpretação prática para a prova (resumindo de forma direta e amigável):
  • Mostramos que cada termo em valor absoluto é dominado por \dfrac{2}{k!}.
  • Como \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{k!} converge, pela comparação a série original converge absolutamente.
  • Convergência absoluta implica convergência, então está provado que a série pedida é convergente. Força aí — essa é daquelas que parecem assustadoras por causa das funções feias no numerador, mas o segredo é ver que o denominador k! manda na situação!

Resposta

A série converge absolutamente (portanto converge).

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