Mostre que as séries abaixo são convergentes: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos \left(e^{k^{2}+2}\right)-\sin \left(\ln \left(k^{4}+k^{2}+4\right)\right)}{k!}
e pede que mostremos que ela é convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar (apenas listando, sem resolver ainda):
Os termos da soma envolvem \cos(\cdot) e \sin(\cdot), funções trigonométricas avaliadas em números reais.
O denominador é k! (fatorial), que cresce muito rápido com k.
Precisamos decidir convergência da série (saber se a soma infinita faz sentido).
Passo 2
Propriedade básica das funções seno e cosseno (aula expressa de maneira simples):
Para qualquer número real x vale -1\le \cos(x)\le 1 e -1\le \sin(x)\le 1.
Isto é consequência da definição geométrica/analítica de seno e cosseno: seus valores estão sempre entre -1 e 1. Aqui não importa o argumento (pode ser e^{k^{2}+2} ou \ln(k^{4}+k^{2}+4)), a propriedade vale para qualquer argumento real.
Passo 3
Use a desigualdade triangular e o item anterior para controlar o numerador. Para o k-ésimo termo a_k da série, escrevemos
logo a série \sum b_k converge; por isso \sum 2b_k também converge.
Passo 5
Aplicamos o teste da comparação absoluta (explicando o conceito):
Se \lvert a_k\rvert \le b_k para todo k e \sum b_k converge com b_k\ge 0, então \sum a_k converge absolutamente (isto é, \sum \lvert a_k\rvert converge), e portanto \sum a_k converge.
No nosso caso, tomamos b_k=\dfrac{2}{k!}. Pelo Passo 3 temos \lvert a_k\rvert\le b_k e pelo Passo 4 \sum b_k converge. Logo \sum a_k converge absolutamente.
Passo 6
Conclusão e interpretação prática para a prova (resumindo de forma direta e amigável):
Mostramos que cada termo em valor absoluto é dominado por \dfrac{2}{k!}.
Como \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{2}{k!} converge, pela comparação a série original converge absolutamente.
Convergência absoluta implica convergência, então está provado que a série pedida é convergente. Força aí — essa é daquelas que parecem assustadoras por causa das funções feias no numerador, mas o segredo é ver que o denominador k! manda na situação!
Resposta
A série converge absolutamente (portanto converge).