Mostre que as séries abaixo são convergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \sin (k+4)}{k^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \sin (k+4)}{k^{2}+2}
é convergente.
Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral é \displaystyle \frac{k \sin (k+4)}{k^{2}+2}.
  • A fator \sin(k+4) oscila entre -1 e 1.
  • O outro fator \displaystyle \frac{k}{k^{2}+2} é positivo e tende a 0 quando k\to\infty.
Não há outras condicionalidades no enunciado; nosso objetivo é provar convergência da soma infinita.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem complicar demais): aplicar o Teste de Dirichlet para séries do tipo \sum a_k b_k. Vou primeiro enunciar e explicar o teste de forma didática.
Enunciado (Teste de Dirichlet, versão prática). Seja \{a_k\} e \{b_k\} duas sequências reais. Se
  1. as somas parciais A_n=\sum_{k=1}^n a_k são uniformemente limitadas, isto é, existe M>0 tal que |A_n|\le M para todo n, e
  2. a sequência \{b_k\} é monótona (eventualmente) e \displaystyle b_k\to 0 quando k\to\infty,
então a série \sum_{k=1}^\infty a_k b_k converge.
Intuição simples: se os a_k formam somas parciais que não crescem (ficam “controladas”) e os b_k decrescem para zero, as oscilações produzidas por a_k são atenuadas por b_k e a soma converge. Formalmente, prova-se usando somação por partes (abél) para transformar a soma em termos que tendem a zero.

Passo 3

Identificamos no nosso caso:
a_k=\sin(k+4),\qquad b_k=\frac{k}{k^{2}+2}.
Vamos verificar as duas condições do Teste de Dirichlet.
Primeira condição: as somas parciais de a_k são limitadas. Considere
A_n=\sum_{k=1}^n \sin(k+4).
Para mostrar que A_n é limitado usamos números complexos (é um truque padrão e simples): lembre que \sin\theta=\Im(e^{i\theta}). Então
A_n=\Im\!\left(\sum_{k=1}^n e^{i(k+4)}\right)=\Im\!\left(e^{i4}\sum_{k=1}^n e^{ik}\right).
A soma geométrica \sum_{k=1}^n e^{ik} tem fórmula fechada:
\sum_{k=1}^n e^{ik}=e^{i}\frac{1-e^{in}}{1-e^{i}}.
Portanto
A_n=\Im\!\left(e^{i4}\cdot e^{i}\frac{1-e^{in}}{1-e^{i}}\right).
Agora basta estimar em módulo: usando |\Im z|\le|z| e |1-e^{in}|\le 2 para qualquer n,
|A_n|\le \left|e^{i4}\right|\left|e^{i}\right|\frac{|1-e^{in}|}{|1-e^{i}|}\le \frac{2}{|1-e^{i}|}.
Note que |1-e^{i}|=2|\sin(1/2)|>0, portanto o lado direito é uma constante finita. Assim existe M>0 tal que |A_n|\le M para todo n. Concluímos que a primeira condição do Teste de Dirichlet está satisfeita.

Passo 4

Segunda condição: mostrar que \{b_k\} é monótona (a partir de algum índice) e tende a 0.
Considere a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2},\qquad x>0.
Calculamos a derivada para ver monotonia:
f'(x)=\frac{(x^{2}+2)-2x^{2}}{(x^{2}+2)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{(x^{2}+2)^{2}}.
Assim f'(x)>0 se 0<x<\sqrt{2} e f'(x)<0 se x>\sqrt{2}. Em particular, para inteiros k\ge 2 temos k>\sqrt{2} e portanto a sequência b_k=f(k) é decrescente a partir de k=2. Além disso,
\lim_{k\to\infty} b_k=\lim_{k\to\infty}\frac{k}{k^{2}+2}=0
porque o denominador cresce como k^{2} enquanto o numerador cresce como k. Logo a segunda condição do Teste de Dirichlet também está satisfeita (monotonia eventual e limite zero).

Passo 5

Aplicando o Teste de Dirichlet às sequências a_k=\sin(k+4) e b_k=\dfrac{k}{k^{2}+2}, pelas verifications dos passos anteriores concluímos que a série
\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k\sin(k+4)}{k^{2}+2}
converge.
Comentário extra (motivacional e prático): na prova vale decorar/lembrar o Teste de Dirichlet e o truque de transformar seno em parte imaginária de e^{i\theta} para obter soma geométrica — isso resolve muitas séries com oscilações tipo \sin(kx) ou \cos(kx).

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \sin (k+4)}{k^{2}+2} converge.

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