Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x^{3}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{3}}{x^{2}-1}
O conteúdo é limite de função racional no infinito, e vamos usar a ideia de dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Identificamos que o numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 2. Para estudar o comportamento quando x\to+\infty, dividimos cada termo por x^{2}:
\frac{2x^{3}}{x^{2}-1} = \frac{2x^{3}/x^{2}}{(x^{2}-1)/x^{2}} = \frac{2x}{1 - 1/x^{2}}.

Passo 3

À medida que x\to+\infty, temos 1/x^{2}\to0. Logo
\frac{2x}{1 - 1/x^{2}} \sim 2x,
e como 2x\to+\infty quando x\to+\infty, o limite da expressão original também diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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