Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2^{x}+x^{2}}{3^{x}+x}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2^{x}+x^{2}}{3^{x}+x}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A variável x cresce sem limite ( x\to+\infty).
  • No numerador aparecem os termos 2^{x} e x^{2}.
  • No denominador aparecem os termos 3^{x} e x.
    A pergunta é apenas: qual o valor desse limite?

Passo 2

Uma estratégia muito útil é dividir numerador e denominador por um termo que domine (seja o maior) quando x\to+\infty. Aqui o termo dominante no denominador é 3^{x} (pois cresce muito rápido). Dividindo tudo por 3^{x} obtemos:
\frac{2^{x}+x^{2}}{3^{x}+x} = \frac{\dfrac{2^{x}}{3^{x}}+\dfrac{x^{2}}{3^{x}}}{1+\dfrac{x}{3^{x}}} = \frac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}+\dfrac{x^{2}}{3^{x}}}{1+\dfrac{x}{3^{x}}}.
Agora precisamos analisar os limites, quando x\to+\infty, dos termos \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}, \dfrac{x^{2}}{3^{x}} e \dfrac{x}{3^{x}}.

Passo 3

Analisar \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}.
Aqui 0<\dfrac{2}{3}<1. Para qualquer base b com 0<b<1 temos b^{x}\to0 quando x\to+\infty (potências de número menor que 1 vão para zero quando o expoente cresce). Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}=0.

Passo 4

Analisar \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}}{3^{x}}.
Este é um caso típico: uma função polinomial no numerador versus uma exponencial no denominador. Exponenciais com base maior que 1 crescem muito mais rápido que qualquer polinômio, então o limite deve ser 0. Para ser rigoroso podemos usar a regra de L’Hôpital. Escrevemos \dfrac{x^{2}}{3^{x}} como uma forma \dfrac{\infty}{\infty} (quando x\to\infty, tanto x^2 quanto 3^x tendem a +\infty), então aplicamos L’Hôpital duas vezes:
Primeira aplicação:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{3^{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{3^{x}\ln 3}.
Ainda é uma forma \dfrac{\infty}{\infty}, aplicamos L’Hôpital de novo:
Segunda aplicação:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x}{3^{x}\ln 3} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{3^{x}(\ln 3)^{2}}.
Agora o denominador tende para +\infty enquanto o numerador é constante 2, então a fração tende a 0. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}}{3^{x}}=0.
(Dica concreta: o mesmo raciocínio vale para qualquer \dfrac{x^{k}}{a^{x}} com k fixo e a>1.)

Passo 5

Analisar \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{3^{x}}.
Mesma ideia do passo anterior, mas aqui basta aplicar L’Hôpital uma vez, pois ainda é \dfrac{\infty}{\infty}:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{3^{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{3^{x}\ln 3}=0.

Passo 6

Reunindo os resultados obtidos nos passos anteriores e voltando à expressão do Passo 2:
\frac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}+\dfrac{x^{2}}{3^{x}}}{1+\dfrac{x}{3^{x}}} \longrightarrow \frac{0+0}{1+0}=\frac{0}{1}=0 \quad\text{quando }x\to+\infty.
Intuição final: 3^{x} cresce muito mais rápido que 2^{x} e que os polinômios, então a fração vai para zero.

Resposta

0

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