Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para
:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A variável
cresce sem limite ( ). - No numerador aparecem os termos
e . - No denominador aparecem os termos
e .
A pergunta é apenas: qual o valor desse limite?
Passo 2
Uma estratégia muito útil é dividir numerador e denominador por um termo que domine (seja o maior) quando
. Aqui o termo dominante no denominador é
(pois cresce muito rápido). Dividindo tudo por
obtemos:
Agora precisamos analisar os limites, quando
, dos termos
,
e
.
Passo 3
Analisar
.
Aqui
. Para qualquer base
com
temos
quando
(potências de número menor que 1 vão para zero quando o expoente cresce). Portanto
Passo 4
Analisar
.
Este é um caso típico: uma função polinomial no numerador versus uma exponencial no denominador. Exponenciais com base maior que
crescem muito mais rápido que qualquer polinômio, então o limite deve ser
. Para ser rigoroso podemos usar a regra de L’Hôpital. Escrevemos
como uma forma
(quando
, tanto
quanto
tendem a
), então aplicamos L’Hôpital duas vezes:
Primeira aplicação:
Ainda é uma forma
, aplicamos L’Hôpital de novo:
Segunda aplicação:
Agora o denominador tende para
enquanto o numerador é constante
, então a fração tende a
. Logo
(Dica concreta: o mesmo raciocínio vale para qualquer
com
fixo e
.)
Passo 5
Analisar
.
Mesma ideia do passo anterior, mas aqui basta aplicar L’Hôpital uma vez, pois ainda é
:
Passo 6
Reunindo os resultados obtidos nos passos anteriores e voltando à expressão do Passo 2:
Intuição final:
cresce muito mais rápido que
e que os polinômios, então a fração vai para zero.
Resposta
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