Calcule os limites
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele fornece:
- Pede-se o limite quando
tende a da expressão
- Informação importante:
, ou seja, é grande e positivo nas aproximações que faremos.
Passo 2
Primeira ideia útil: fatorar
dentro das raízes para expor um fator
que simplifica a expressão. Para isso usamos a identidade
Explicação: ao fatorar
dentro da raiz obtemos
. Como aqui
então
. Aplicando aos dois termos:
Comentário intuitivo: para
grande,
e
estão próximos de
, então a diferença dentro do parêntese é pequena (da ordem de
), multiplicada por
pode dar um valor finito — por isso precisamos manipular com cuidado.
Passo 3
Técnica para eliminar a diferença de raízes: multiplicar e dividir pela conjugada. Faço isso para o fator entre parênteses:
O numerador é diferença de quadrados, que simplifica para
Substituindo isso na expressão original, obtemos
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Usamos a continuidade da função raiz quadrada: se
e
, então
e
. Logo o denominador da expressão acima tende a
. Portanto o limite da expressão simplificada é
Passo 5
Resumo do método para a prova (dicas rápidas):
- Sempre que tiver diferença de raízes com termos que crescem como
, fatorar e usar é um passo padrão. - Se a diferença entre raízes for pequena, usar a multiplicação pela conjugada transforma essa diferença numa razão simples que costuma permitir o cálculo do limite.
- Verifique o sinal de
(aqui usamos porque ).