Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+5 x}-\sqrt{x^{2}+x}\right)=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele fornece:
  • Pede-se o limite quando x tende a +\infty da expressão
\sqrt{x^{2}+5x}-\sqrt{x^{2}+x}.
  • Informação importante: x\to+\infty, ou seja, x é grande e positivo nas aproximações que faremos.

Passo 2

Primeira ideia útil: fatorar x^2 dentro das raízes para expor um fator x que simplifica a expressão. Para isso usamos a identidade
\sqrt{x^{2}+ax} = |x|\sqrt{1+\frac{a}{x}}.
Explicação: ao fatorar x^{2} dentro da raiz obtemos \sqrt{x^{2}\big(1+\frac{a}{x}\big)}=|x|\sqrt{1+\frac{a}{x}}. Como aqui x\to+\infty então |x|=x. Aplicando aos dois termos:
\sqrt{x^{2}+5x}-\sqrt{x^{2}+x}=x\left(\sqrt{1+\frac{5}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right).
Comentário intuitivo: para x grande, \sqrt{1+5/x} e \sqrt{1+1/x} estão próximos de 1, então a diferença dentro do parêntese é pequena (da ordem de 1/x), multiplicada por x pode dar um valor finito — por isso precisamos manipular com cuidado.

Passo 3

Técnica para eliminar a diferença de raízes: multiplicar e dividir pela conjugada. Faço isso para o fator entre parênteses:
\sqrt{1+\frac{5}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}} = \frac{\left(\sqrt{1+\frac{5}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}.
O numerador é diferença de quadrados, que simplifica para
\left(1+\frac{5}{x}\right)-\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x}.
Substituindo isso na expressão original, obtemos
x\left(\sqrt{1+\frac{5}{x}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right) = x\cdot\frac{\dfrac{4}{x}}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando x\to+\infty. Usamos a continuidade da função raiz quadrada: se \frac{5}{x}\to0 e \frac{1}{x}\to0, então \sqrt{1+\frac{5}{x}}\to1 e \sqrt{1+\frac{1}{x}}\to1. Logo o denominador da expressão acima tende a 1+1=2. Portanto o limite da expressão simplificada é
\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{\sqrt{1+\frac{5}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{4}{2}=\;2.

Passo 5

Resumo do método para a prova (dicas rápidas):
  • Sempre que tiver diferença de raízes com termos que crescem como x^2, fatorar x^2 e usar \sqrt{x^2}=|x| é um passo padrão.
  • Se a diferença entre raízes for pequena, usar a multiplicação pela conjugada transforma essa diferença numa razão simples que costuma permitir o cálculo do limite.
  • Verifique o sinal de x (aqui usamos |x|=x porque x\to+\infty).

Resposta

2

Exercícios relacionados