Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+3 x}-x}{x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-x}{x}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty (logo x>0 nos valores grandes que interessam).
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}+3x} e uma divisão por x.

Passo 2

Uma observação útil (e frequentemente usada nesses problemas): para x>0 vale \sqrt{x^{2}}=|x|=x. Portanto é natural tentar “fatorar” x dentro da raiz para simplificar a expressão. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Fatorando x^{2} dentro da raiz:
\sqrt{x^{2}+3x}=\sqrt{x^{2}\!\left(1+\frac{3}{x}\right)}=|x|\sqrt{1+\frac{3}{x}}.
Como estamos com x\to+\infty, temos |x|=x. Substituindo na expressão do limite:
\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-x}{x} =\frac{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x}{x} =\sqrt{1+\frac{3}{x}}-1.

Passo 4

Agora aplicamos propriedades básicas de limites e continuidade. Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x}=0.
A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=1, logo
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{3}{x}}=\sqrt{1+0}=1.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}-1\right)=1-1=0.

Passo 5

Para fixar o raciocínio, mostro um método alternativo (muito usado em provas): racionalizar pelo conjugado. Começando da expressão original,
\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-x}{x} =\frac{\sqrt{x^{2}+3x}-x}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+3x}+x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x} =\frac{x^{2}+3x-x^{2}}{x\big(\sqrt{x^{2}+3x}+x\big)} =\frac{3x}{x\big(\sqrt{x^{2}+3x}+x\big)}.
Cancelando x\neq0:
\frac{3}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}.
Dividindo numerador e denominador por x
\frac{3}{x\!\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1\right)}=\frac{3}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}.
Como \dfrac{3}{x}\to0 e o segundo fator tende para \dfrac{1}{1+1}=\tfrac{1}{2}, o produto tende para 0. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 6

Breve intuição adicional: pela racionalização obteve-se
\sqrt{x^{2}+3x}-x=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+3x}+x}\to\frac{3}{2} \quad\text{quando }x\to+\infty,
ou seja, o numerador tende a uma constante \tfrac{3}{2}, e portanto ao dividir por x o quociente tende a 0. Isso explica por que o limite é zero e dá noção da velocidade de decaimento.

Resposta

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