Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende para (logo nos valores grandes que interessam). - A expressão envolve uma raiz quadrada
e uma divisão por .
Passo 2
Uma observação útil (e frequentemente usada nesses problemas): para
vale
. Portanto é natural tentar “fatorar”
dentro da raiz para simplificar a expressão. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Fatorando
dentro da raiz:
Como estamos com
, temos
. Substituindo na expressão do limite:
Passo 4
Agora aplicamos propriedades básicas de limites e continuidade. Sabemos que
A função
é contínua em
, logo
Portanto
Passo 5
Para fixar o raciocínio, mostro um método alternativo (muito usado em provas): racionalizar pelo conjugado. Começando da expressão original,
Cancelando
:
Dividindo numerador e denominador por
dá
Como
e o segundo fator tende para
, o produto tende para
. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 6
Breve intuição adicional: pela racionalização obteve-se
ou seja, o numerador tende a uma constante
, e portanto ao dividir por
o quociente tende a
. Isso explica por que o limite é zero e dá noção da velocidade de decaimento.