Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{4}+x^{2}} \cdot g(x), onde g(x)=\left\{\begin{aligned} 1, & \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ -1, & \text { se } x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{aligned}\right.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O que é pedido: calcular \lim_{x\to 0} \sqrt{x^{4}+x^{2}}\cdot g(x)\).
- O que o enunciado dá:
- \(g(x)\) é definida por
\[g(x)=\begin{cases} 1, & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] -1, & \text{se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}
Logo, para todo x\] vale \(|g(x)|=1; em particular g(x) é uma função sempre limitada pelos valores -1 e 1.
Objetivo neste passo: não resolver ainda, apenas listar dados e o pedido. Já temos a informação importante de que g é uma função limitada.]
Passo 2
Vamos usar uma desigualdade simples que vem do fato de que g(x) só assume os valores \pm1.
Para todo x é verdade que-1\le g(x)\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por \sqrt{x^{4}+x^{2}}, que é sempre não negativa, obtemos-\sqrt{x^{4}+x^{2}}\le \sqrt{x^{4}+x^{2}\,}\,g(x)\le \sqrt{x^{4}+x^{2}}.
Essa desigualdade é útil porque coloca a função que queremos entre duas funções mais simples.
Passo 3
Agora vamos investigar o limite das funções que aparecem nas duas extremidades da desigualdade: \pm\sqrt{x^{4}+x^{2}}.
Primeiro simplificar \sqrt{x^{4}+x^{2}}. Observe quex^{4}+x^{2}=x^{2}\bigl(x^{2}+1\bigr),logo\sqrt{x^{4}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{x^{2}+1}=|x|\sqrt{1+x^{2}}.(Aqui usei que \sqrt{x^{2}}=|x|.)
Agora veja o comportamento quando x\to 0. A função \sqrt{1+x^{2}} é contínua e tem valor \sqrt{1+0}=1 em 0. Assim\lim_{x\to 0}\sqrt{1+x^{2}}=1,e portanto\lim_{x\to 0}|x|\sqrt{1+x^{2}}=\bigl(\lim_{x\to 0}|x|\bigr)\cdot\bigl(\lim_{x\to 0}\sqrt{1+x^{2}}\bigr)=0\cdot 1=0.
Conclusão deste passo:\lim_{x\to 0}\sqrt{x^{4}+x^{2}}=0,e pelo mesmo raciocínio\lim_{x\to 0}\bigl(-\sqrt{x^{4}+x^{2}}\bigr)=0.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem).
Temos a desigualdade para todo x próxima de 0:-\sqrt{x^{4}+x^{2}}\le \sqrt{x^{4}+x^{2}}\,g(x)\le \sqrt{x^{4}+x^{2}}.
Das contas do passo anterior sabemos que as funções das duas extremidades têm limite 0 quando x\to 0:\lim_{x\to 0}\bigl(-\sqrt{x^{4}+x^{2}}\bigr)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0}\sqrt{x^{4}+x^{2}}=0.
Pelo Teorema do Confronto, a função que está “apertada” entre elas também tem limite 0. Logo\lim_{x\to 0}\sqrt{x^{4}+x^{2}}\,g(x)=0.
Passo 5
Interpretação intuitiva e dica de prova rápida para a prova: a função \sqrt{x^{4}+x^{2}} tende a zero muito rapidamente quando x\to 0, e g(x) apenas muda de sinal entre +1 e -1 (é limitada). O produto de uma função que tende a zero por outra que é limitada tende a zero — essa é uma técnica padrão em provas (pode ser formalizada com o Teorema do Confronto).