Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,2)} \frac{x-y}{x^{8}-y^{8}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\rightarrow(2,2)} \frac{x-y}{x^{8}-y^{8}}.
Informações dadas e ponto de interesse:
  • A expressão é a razão entre x-y e x^{8}-y^{8}.
  • O ponto de limite é (x,y)=(2,2).
  • Ao substituir x=2 e y=2 diretamente, obtemos 0/0, ou seja forma indeterminada.

Passo 2

Relembrando uma identidade algébrica útil: para quaisquer números a e b e inteiro n\ge1 vale
a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{\,n-1-k}b^{\,k}.
Explicação rápida dessa identidade (prova por telescópico): multiplique a soma por (a-b):
(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^{k} = \sum_{k=0}^{n-1}\bigl(a^{n-k}b^{k}-a^{n-1-k}b^{k+1}\bigr),
cada termo interno cancela com o seguinte, sobrando apenas a^{n}-b^{n}. Essa identidade é padrão e muito prática para diferenças de potências.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=x, b=y e n=8, obtemos
x^{8}-y^{8}=(x-y)\sum_{k=0}^{7} x^{7-k}y^{k}.
Portanto, para (x,y) tais que x\neq y, podemos simplificar a expressão do enunciado:
\frac{x-y}{x^{8}-y^{8}} =\frac{x-y}{(x-y)\sum_{k=0}^{7} x^{7-k}y^{k}} =\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{7} x^{7-k}y^{k}}.

Passo 4

Argumento sobre a validade da simplificação para o cálculo do limite: a simplificação é feita para todos os pontos próximos de (2,2) com x\neq y. O valor da função original coincide com a função simplificada nesses pontos, e a definição de limite permite estudar o comportamento quando (x,y) se aproxima de (2,2) por pontos onde x\neq y. Assim, o limite da expressão original é igual ao limite da função simplificada quando (x,y)\to(2,2).

Passo 5

Agora avaliamos o denominador simplificado no ponto (2,2). Cada termo da soma
\sum_{k=0}^{7} x^{7-k}y^{k}
avaliado em x=2, y=2 é igual a 2^{7}=128. Como há 8 termos (de k=0 até k=7), a soma vale
\sum_{k=0}^{7} 2^{7} = 8\cdot 2^{7} = 8\cdot 128 = 1024.

Passo 6

Portanto, pela simplificação do Passo 3 e pela avaliação do Passo 5, o limite é
\lim_{(x,y)\rightarrow(2,2)} \frac{x-y}{x^{8}-y^{8}} =\lim_{(x,y)\rightarrow(2,2)} \frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{7} x^{7-k}y^{k}} =\frac{1}{1024}.
Observação extra (aula rápida de intuição): isso é análogo à ideia do quociente incremental de uma função univariada f(t)=t^{8}, pois
\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \to f'(2)=8\cdot 2^{7}=1024,
logo o recíproco do quociente tende a 1/1024; a fatoração feita antes é a forma algébrica explícita desse quociente.

Resposta

\dfrac{1}{1024}

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