Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e ponto de interesse:
- A expressão é a razão entre
e . - O ponto de limite é
. - Ao substituir
e diretamente, obtemos , ou seja forma indeterminada.
Passo 2
Relembrando uma identidade algébrica útil: para quaisquer números
e
e inteiro
vale
Explicação rápida dessa identidade (prova por telescópico): multiplique a soma por
:
cada termo interno cancela com o seguinte, sobrando apenas
. Essa identidade é padrão e muito prática para diferenças de potências.
Passo 3
Aplicando a identidade com
,
e
, obtemos
Portanto, para
tais que
, podemos simplificar a expressão do enunciado:
Passo 4
Argumento sobre a validade da simplificação para o cálculo do limite: a simplificação é feita para todos os pontos próximos de
com
. O valor da função original coincide com a função simplificada nesses pontos, e a definição de limite permite estudar o comportamento quando
se aproxima de
por pontos onde
. Assim, o limite da expressão original é igual ao limite da função simplificada quando
.
Passo 5
Agora avaliamos o denominador simplificado no ponto
. Cada termo da soma
avaliado em
,
é igual a
. Como há
termos (de
até
), a soma vale
Passo 6
Portanto, pela simplificação do Passo 3 e pela avaliação do Passo 5, o limite é
Observação extra (aula rápida de intuição): isso é análogo à ideia do quociente incremental de uma função univariada
, pois
logo o recíproco do quociente tende a
; a fatoração feita antes é a forma algébrica explícita desse quociente.