Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando (x,y) tende a (2,2) (assumo isto porque o alvo escrito foi (2) e a função tem duas variáveis). A expressão dada é
\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}.
O que nos foi dado:
  • As variáveis de entrada são x e y.
  • O ponto ao qual convergimos é (x,y)\to(2,2).
  • A função depende apenas da soma x+y.
    O que se pede:
  • Calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2}.

Passo 2

Ideia para simplificar: como a função depende só de x+y, é natural mudar de variável para a soma. Defina
u = x+y.
Quando (x,y)\to(2,2) então u = x+y \to 2+2 = 4. Portanto a questão reduz-se ao limite de uma função de uma variável:
\lim_{(x,y)\to(2,2)} \frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}-2} = \lim_{u\to 4} \frac{u-4}{\sqrt{u}-2}.
Aqui usei que a aplicação (x,y)\mapsto x+y é contínua, logo a imagem do ponto-limite é o limite das imagens.

Passo 3

Agora vamos resolver
\lim_{u\to 4} \frac{u-4}{\sqrt{u}-2}.
Observe que, se substituirmos diretamente u=4 obtemos forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Para eliminar essa indeterminação vamos manipular algebricamente usando o conjugado da raiz.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{u}+2:
\frac{u-4}{\sqrt{u}-2} = \frac{u-4}{\sqrt{u}-2}\cdot\frac{\sqrt{u}+2}{\sqrt{u}+2} = \frac{(u-4)(\sqrt{u}+2)}{(\sqrt{u}-2)(\sqrt{u}+2)}.
No denominador o produto dos conjugados simplifica usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
(\sqrt{u}-2)(\sqrt{u}+2)=u-4.
Logo
\frac{(u-4)(\sqrt{u}+2)}{(\sqrt{u}-2)(\sqrt{u}+2)} = \frac{(u-4)(\sqrt{u}+2)}{u-4}.
Esta simplificação é válida para u\neq4; como o limite considera u tendendo a 4 mas não necessariamente igual a 4, podemos cancelar o fator u-4 no numerador e denominador.

Passo 5

Cancelando u-4 obtemos para u\neq4:
\frac{u-4}{\sqrt{u}-2} = \sqrt{u}+2.
Portanto o limite é direto:
\lim_{u\to 4} \frac{u-4}{\sqrt{u}-2} = \lim_{u\to 4} (\sqrt{u}+2) = \sqrt{4}+2 = 2+2 = 4.
Concluímos que o limite existe e vale 4.

Resposta

4

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