Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
(assumo isto porque o alvo escrito foi
e a função tem duas variáveis). A expressão dada é
O que nos foi dado:
- As variáveis de entrada são
e . - O ponto ao qual convergimos é
. - A função depende apenas da soma
.
O que se pede: - Calcular
Passo 2
Ideia para simplificar: como a função depende só de
, é natural mudar de variável para a soma. Defina
Quando
então
. Portanto a questão reduz-se ao limite de uma função de uma variável:
Aqui usei que a aplicação
é contínua, logo a imagem do ponto-limite é o limite das imagens.
Passo 3
Agora vamos resolver
Observe que, se substituirmos diretamente
obtemos forma indeterminada
. Para eliminar essa indeterminação vamos manipular algebricamente usando o conjugado da raiz.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
:
No denominador o produto dos conjugados simplifica usando a identidade
:
Logo
Esta simplificação é válida para
; como o limite considera
tendendo a
mas não necessariamente igual a
, podemos cancelar o fator
no numerador e denominador.
Passo 5
Cancelando
obtemos para
:
Portanto o limite é direto:
Concluímos que o limite existe e vale
.