Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} x^{2}\left(\frac{e^{y}-1}{y}\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y) = x^{2}\,\biggl(\frac{e^{y}-1}{y}\biggr)
e queremos calcular
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y).
O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis, continuidade de polinômios e o limite clássico \lim_{y\to0}\tfrac{e^{y}-1}{y}=1.

Passo 2

Escrevemos f como produto de duas partes:
f(x,y) \;=\; x^2 \;\cdot\; g(y),
onde definimos
g(y) = \frac{e^{y}-1}{y}
para y\neq0.

Passo 3

Como x^2 é contínua em x=1, temos
\lim_{(x,y)\to(1,0)} x^2 \;=\; 1^2 \;=\; 1.

Passo 4

O limite notório de g em y=0 pode ser obtido por l\textquotesingle{}Hôpital ou expansão em série de Taylor:
\lim_{y\to0} \frac{e^{y}-1}{y} \;=\; 1.

Passo 5

Pela propriedade de limite do produto, como ambos os limites existem,
\lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y) =\Bigl(\lim_{(x,y)\to(1,0)} x^2\Bigr)\,\Bigl(\lim_{y\to0} g(y)\Bigr) =1\cdot1=1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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