Calcule os limites:
\lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(4,4) \\\ x \neq y}} \operatorname{arctg} \frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{\substack{(x,y)\to(4,4)\x\neq y}}\arctan\frac{y}{x}.
Este é um limite de função de duas variáveis e vamos usar a propriedade de continuidade da função composta.

Passo 2

Observe que, como (x,y)\to(4,4) e x\neq y implica x\to4\neq0, o quociente \frac{y}{x} tende a
\lim_{(x,y)\to(4,4)}\frac{y}{x}=\frac{4}{4}=1.

Passo 3

A função \arctan\colon\mathbb{R}\to\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) é contínua em 1, logo
\lim_{\substack{(x,y)\to(4,4)\x\neq y}}\arctan\frac{y}{x} =\arctan\!\bigl(\lim_{(x,y)\to(4,4)}\tfrac{y}{x}\bigr) =\arctan(1) =\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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