Calcule os limites :
lim (x, y) (0,0) e^x sin xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de e^x sin xx quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites e algumas propriedades das funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a expressão e^x sin xx depende apenas da variável x. Isso significa que, na verdade, o limite depende só de x se aproximando de zero, mesmo que o enunciado mencione y. Então, podemos focar em calcular limx to 0 e^x sin xx.

Passo 3

Agora, vamos simplificar e^x sin x. Sabemos que para valores de x perto de zero, sin x pode ser aproximado por x (isso é uma aproximação comum em trigonometria chamada expansão em série de Taylor: sin x approx x quando x é pequeno). Então, temos:
e^x sin x approx e^x cdot x = e^x^2

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, ficamos com:
e^x sin xx approx e^x^2x
E sabemos que e^x^2, para x próximo de zero, é aproximadamente 1 + x^2. Então:
1 + x^2x = 1x + x
Quando x se aproxima de zero, 1x cresce sem limite (vadeia para o infinito) e x vai para zero. Portanto, o comportamento dominante aqui é 1x.

Passo 5

Como 1x tende para infinito quando x se aproxima de zero, podemos concluir que:
limx to 0 e^x sin xx = +infty

Resposta

O limite é infinito.

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