Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele não existe :
lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 y2 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites em várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando e vão chegando perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de um número pequeno pode ser aproximado pelo próprio número. Ou seja, para valores de próximos de zero, . Então, .

Passo 3

Substituindo essa aproximação na função original, temos:
x^2 sin^2 y2x^2 + y^2 approx x^2 y^22x^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos analisar . Para entender o comportamento dessa expressão quando , uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e , com .

Passo 5

Substituindo (r cos theta)^2 (r sin theta)^22(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^4 cos^2 theta sin^2 theta2r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta e por suas expressões em coordenadas polares:

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos fatorar r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^2(2 cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 cos^2 theta sin^2 theta2 cos^2 theta + sin^2 theta no denominador:

Passo 7

Agora, observamos que quando , o numerador tende a zero, e o denominador permanece finito e diferente de zero. Portanto, todo o quociente tende a zero.

Resposta

O limite é .

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