Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam :
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2sin (x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando coordenadas polares! O enunciado nos pede para encontrar:
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2sin (x^2+y^2)
Aqui, estamos lidando com limites em duas variáveis e vamos usar as coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, a gente transforma as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para , onde:
Além disso, . Isso facilita quando estamos calculando limites perto da origem , pois representa a distância até a origem.

Passo 3

Agora, vamos substituir x^2+y^2sin (x^2+y^2) = r^2sin(r^2) por limr to 0 r^2sin(r^2) na nossa expressão original:
Então, o limite que queremos calcular agora é:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de sin(r^2) approx r^2 quando r to 0 quando r^2r^2 = 1 se aproxima de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , . Aplicando isso aqui:
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 5

Para ter certeza, podemos usar o limite conhecido:
limz to 0 zsin z = 1
Aqui, substituindo limr to 0 r^2sin(r^2) = 1 , temos:

Resposta

O limite é igual a 1.

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