Calcule os limites:
(n) lim x -infty(1+7x)^x.

Passo 1

A gente quer calcular o limite limxto -inftyl(1+tfrac7xr)^x. O conteúdo é limites exponenciais do tipo (1+tfracax)^x, e para resolver vamos usar que esse tipo de expressão tende a e^a.

Passo 2

Primeiro, reescrevo a função dentro do limite como uma exponencial: eu sei que para qualquer função positiva f(x) vale (f(x))^x=expl(xln f(x)r). Então
l(1+tfrac7xr)^x=expl(xlnl(1+tfrac7xr)r)

Passo 3

Agora calculo o limite do expoente. Para xto-infty temos 7/xto0, e uso a expansão de Taylor da função ln(1+u) em torno de u=0:
lnl(1+ur)=u+o(u),

Passo 4

Substituindo u=7/x resulta
lnl(1+tfrac7xr)=tfrac7x+ol(tfrac1xr),multiplicando por x e levando xto-infty
xlnl(1+tfrac7xr)to7

Resposta

e^7

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