Verifique se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo I dado. Em caso afirmativo encontre um número c como na conclusão do Teorema do Valor Médio.
© f(x)=raizx+1, I=[0,3]

Passo 1

Vamos verificar o Teorema do Valor Médio para a função f(x)=raizx+1 no intervalo [0,3]. Precisamos checar as hipóteses de continuidade em [0,3] e diferenciabilidade em (0,3), e depois encontrar c tal que f'(c)=f(3)-f(0)3-0.

Passo 2

A função f(x)=raizx+1 é composta pelas funções x+1 (polinomial) e raizcdot, ambas contínuas em seus domínios. Como x+1>=1>0 em [0,3], temos domínio [0,3]subset[-1,infty), logo f é contínua em [0,3].
Para diferenciabilidade, lembramos que a derivada de raizx+1 é dada por
f'(x)=12raizx+1
Essa expressão está bem definida para todo x>-1, portanto f é diferenciável em (0,3).

Passo 3

Agora calculamos a taxa média de variação em [0,3]:
f(3)-f(0)3-0=raiz4-raiz13=2-13=13

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Médio, deve existir cin(0,3) tal que
f'(c)=13

Passo 5

Substituindo f'(c)=tfrac12raizc+1 e igualando:
12raizc+1=13

Passo 6

Resolvendo, temos:
2raizc+1=3Rightarrowraizc+1=32Rightarrow c+1=94Rightarrow c=94-1=54

Passo 7

Verificamos que c=5/4 pertence a (0,3), satisfazendo o Teorema do Valor Médio.

Resposta

c=tfrac54

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