Verifique se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
dado. Em caso afirmativo encontre um número c como na conclusão do Teorema do Valor Médio.
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Passo 1
Vamos verificar o Teorema do Valor Médio para a função
no intervalo
. Precisamos checar as hipóteses de continuidade em
e diferenciabilidade em
, e depois encontrar
tal que
.
Passo 2
A função
é composta pelas funções
(polinomial) e
, ambas contínuas em seus domínios. Como
em
, temos domínio
, logo
é contínua em
.
Para diferenciabilidade, lembramos que a derivada de é dada por
Para diferenciabilidade, lembramos que a derivada de
Essa expressão está bem definida para todo
Passo 3
Agora calculamos a taxa média de variação em
:
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Médio, deve existir
tal que
Passo 5
Substituindo
e igualando:
Passo 6
Resolvendo, temos:
Passo 7
Verificamos que
pertence a
, satisfazendo o Teorema do Valor Médio.