Encontre a transformação fracionária linear f(z)=a z+bc z+d que leva os pontos z1=1, z2=i e z3=-1 respectivamente em w1=0, w2=1 e w3=infty.

Passo 1

Enunciado: encontrar a transformação fracionária linear f(z)=az+bcz+d que mapeia z1=1 em w1=0, z2=i em w2=1 e z3=-1 em w3=infty. Vamos usar condições sobre o numerador e o denominador para resolver.

Passo 2

Aplicando f(1)=0: temos acdot1+bccdot1+d=0, o que implica a+b=0 e portanto b=-a.

Passo 3

Aplicando f(-1)=infty: o denominador deve ser zero, ou seja ccdot(-1)+d=0, logo -c+d=0 e d=c.

Passo 4

Aplicando f(i)=1: escrevemos a,i+bc,i+d=1, logo a,i+b=c,i+d. Substituindo b=-a e d=c obtemos a(i-1)=c(i+1), ou seja c=ai-1i+1. Como i-1i+1=i, temos c=a,i.

Passo 5

Escolhendo a normalização a=1 (qualquer escala funciona), obtemos b=-1, c=i, d=i.

Passo 6

Substituindo em f(z)=az+bcz+d resulta em
f(z)=z-1i(z+1)
Multiplicando numerador e denominador por -i para simplificar, obtemos
f(z)=-iz-1z+1

Resposta

-iz-1z+1

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