Calcule os limites a seguir aplicando os limites fundamentais.
q) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}. Trata-se de um caso clássico de limites envolvendo exponenciais e vamos usar a expansão de Taylor (limites fundamentais) para resolvê-lo.

Passo 2

Lembrando que para u\to 0 vale
e^{u}=1+u+o(u).
No nosso caso tomamos u=-ax e u=-bx, obtendo
e^{-ax}=1 - ax + o(x),
e^{-bx}=1 - bx + o(x).

Passo 3

Subtraindo as duas expansões obtemos
e^{-ax}-e^{-bx}=(1 - ax + o(x)) - (1 - bx + o(x)) =-ax + bx + o(x) =(b-a)x + o(x).

Passo 4

Agora dividimos por x:
\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} =\frac{(b-a)x + o(x)}{x} =b - a + o(1).
À medida que x\to 0, o termo o(1) tende a zero, restando b - a.

Resposta

b - a

Exercícios relacionados