Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{4}+x^{2}-6}{x^{4}+2 x+3}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{4}+x^{2}-6}{x^{4}+2x+3}\right)^{2}.
Informações fornecidas:
  • A expressão a ser analisada é \left(\dfrac{x^{4}+x^{2}-6}{x^{4}+2x+3}\right)^{2}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
  • A tarefa é encontrar o valor do limite e, em cada passagem, explicitar a propriedade de limite que está sendo usada.

Passo 2

Calcular os valores dos polinômios no ponto x=1 por substituição direta:
\text{numerador: }1^{4}+1^{2}-6 = 1+1-6 = -4,
\text{denominador: }1^{4}+2\cdot1+3 = 1+2+3 = 6.

Passo 3

Usar a propriedade de continuidade dos polinômios: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}, portanto
\lim_{x\to 1} (x^{4}+x^{2}-6) = -4 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1} (x^{4}+2x+3) = 6.
Explicação rápida: continuidade significa que o limite ao aproximar x de 1 é exatamente o valor da função em 1; isso vale para somas e produtos de x, constantes e expoentes inteiros.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente de limites: se \lim_{x\to a}g(x)=L e \lim_{x\to a}h(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{L}{M}.
Aqui L=-4 e M=6\neq 0, portanto
\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}+x^{2}-6}{x^{4}+2x+3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}.
Observação: é importante verificar que o limite do denominador não é zero para poder usar essa regra.

Passo 5

Aplicar a propriedade do limite em relação à função quadrado (ou composição com função contínua): a função t\mapsto t^{2} é contínua, logo
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{4}+x^{2}-6}{x^{4}+2x+3}\right)^{2} =\left(\lim_{x\to 1}\frac{x^{4}+x^{2}-6}{x^{4}+2x+3}\right)^{2}.
Substituindo o resultado do passo anterior:
\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

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