Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é a razão entre o polinômio
e o polinômio . - Ao tentar a substituição direta
obtém-se no numerador e no denominador, ou seja, a forma é , uma indeterminação.
Passo 2
Vamos recordar e usar a identidade algébrica conhecida como diferença de cubos. A fórmula é:
Aqui, tomando
e
, obtemos
Prova curta (multiplicação direta): calcular o produto à direita
Propriedade utilizada: identidade algébrica da diferença de cubos (fato fatorável).
Passo 3
Usando a fatoração do numerador, para
podemos simplificar:
Propriedades utilizadas:
- Simplificação algébrica (cancelamento de um fator comum) válida para
. - Observação importante: duas funções que coincidem em todo um puncto-de-remoção (isto é, iguais em um intervalo com exceção do próprio ponto) têm o mesmo limite naquele ponto. Assim, o limite da fração é igual ao limite do polinômio
.
Passo 4
Agora calculamos o limite da função simplificada. Como polinômios são funções contínuas, vale a propriedade:
- Continuidade de polinômios:
para qualquer polinômio .
Também usamos as regras de limite (limite da soma e do produto).
Portanto
Calcule passo a passo:
Propriedades utilizadas: continuidade do polinômio e avaliação direta por substituição.
Passo 5
Comentário adicional (método alternativo, só para saber): a expressão original é também um quociente do tipo
com
; assim o limite é
. Calculando
dá
. Propriedade utilizada: definição do derivada como limite do quociente incremental. (Não foi necessário usar derivada para resolver a questão; é só outra forma de ver o mesmo resultado.)
Resposta
12