Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}-8}{x-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é a razão entre o polinômio x^{3}-8 e o polinômio x-2.
  • Ao tentar a substituição direta x=2 obtém-se 2^{3}-8=0 no numerador e 2-2=0 no denominador, ou seja, a forma é \tfrac{0}{0}, uma indeterminação.

Passo 2

Vamos recordar e usar a identidade algébrica conhecida como diferença de cubos. A fórmula é:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Aqui, tomando a=x e b=2, obtemos
x^{3}-2^{3}=(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).
Prova curta (multiplicação direta): calcular o produto à direita
(x-2)(x^{2}+2x+4)=x\cdot x^{2}+x\cdot 2x + x\cdot 4 -2\cdot x^{2}-2\cdot 2x -2\cdot 4,
= x^{3}+2x^{2}+4x-2x^{2}-4x-8 = x^{3}-8.
Propriedade utilizada: identidade algébrica da diferença de cubos (fato fatorável).

Passo 3

Usando a fatoração do numerador, para x\neq 2 podemos simplificar:
\frac{x^{3}-8}{x-2}=\frac{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)}{x-2}=x^{2}+2x+4\qquad (x\ne 2).
Propriedades utilizadas:
  • Simplificação algébrica (cancelamento de um fator comum) válida para x\neq 2.
  • Observação importante: duas funções que coincidem em todo um puncto-de-remoção (isto é, iguais em um intervalo com exceção do próprio ponto) têm o mesmo limite naquele ponto. Assim, o limite da fração é igual ao limite do polinômio x^{2}+2x+4.

Passo 4

Agora calculamos o limite da função simplificada. Como polinômios são funções contínuas, vale a propriedade:
  • Continuidade de polinômios: \displaystyle \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer polinômio p.
    Também usamos as regras de limite (limite da soma e do produto).
    Portanto
\lim_{x\to 2}\left(x^{2}+2x+4\right) = 2^{2}+2\cdot 2 + 4.
Calcule passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 2\cdot 2=4,\qquad 4+4+4=12.
Propriedades utilizadas: continuidade do polinômio e avaliação direta por substituição.

Passo 5

Comentário adicional (método alternativo, só para saber): a expressão original é também um quociente do tipo \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} com f(x)=x^{3}; assim o limite é f'(2). Calculando f'(x)=3x^{2} f'(2)=3\cdot 2^{2}=12. Propriedade utilizada: definição do derivada como limite do quociente incremental. (Não foi necessário usar derivada para resolver a questão; é só outra forma de ver o mesmo resultado.)

Resposta

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