Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função envolve
(seno de ) e raízes quadradas . - O enunciado menciona o “primeiro limite fundamental”, que é
- O que se pede é o valor numérico do limite quando
tende a zero.
Passo 2
Observação sobre domínio e comportamento perto de zero: para
suficientemente próximo de zero vale
, logo
e as raízes quadradas estão bem definidas. Também podemos usar que a função
é contínua em números positivos, então limites envolvendo
existirão se
tiver limite.
Passo 3
Vamos racionalizar o numerador (truque clássico: multiplicar por conjugado) para simplificar a expressão. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos:
Passo 4
O produto no numerador é uma diferença de quadrados, portanto:
Substituindo de volta,
Passo 5
Reorganizando a expressão para usar o primeiro limite fundamental:
Agora analisamos o limite de cada fator quando
.
Passo 6
Aplicando o primeiro limite fundamental temos
Para o segundo fator, como
quando
e
é contínua, segue que
Portanto
Passo 7
Como o limite do produto é o produto dos limites (cada limite dos fatores existe e o denominador da segunda fração fica próximo de
, não é zero), concluímos:
Resposta
1