Utilizando o primeiro limite fundamental, determine:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolve \operatorname{sen} x (seno de x) e raízes quadradas \sqrt{\cdot}.
  • O enunciado menciona o “primeiro limite fundamental”, que é
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
  • O que se pede é o valor numérico do limite quando x tende a zero.

Passo 2

Observação sobre domínio e comportamento perto de zero: para x suficientemente próximo de zero vale \operatorname{sen} x\in(-1,1), logo 1\pm\operatorname{sen} x>0 e as raízes quadradas estão bem definidas. Também podemos usar que a função \sqrt{\cdot} é contínua em números positivos, então limites envolvendo \sqrt{1\pm\operatorname{sen} x} existirão se \operatorname{sen} x tiver limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador (truque clássico: multiplicar por conjugado) para simplificar a expressão. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x} obtemos:
\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x} = \frac{\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)}{x\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)}.

Passo 4

O produto no numerador é uma diferença de quadrados, portanto:
\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}\big)^2-\big(\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)^2 =(1+\operatorname{sen} x)-(1-\operatorname{sen} x)=2\operatorname{sen} x.
Substituindo de volta,
\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x} = \frac{2\operatorname{sen} x}{x\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)}.

Passo 5

Reorganizando a expressão para usar o primeiro limite fundamental:
\frac{2\operatorname{sen} x}{x\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)} = \frac{\operatorname{sen} x}{x}\cdot\frac{2}{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}.
Agora analisamos o limite de cada fator quando x\to 0.

Passo 6

Aplicando o primeiro limite fundamental temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Para o segundo fator, como \operatorname{sen} x\to 0 quando x\to 0 e \sqrt{\cdot} é contínua, segue que
\lim_{x\to 0}\big(\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}\big)=\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}=1+1=2.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}+\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}=\frac{2}{2}=1.

Passo 7

Como o limite do produto é o produto dos limites (cada limite dos fatores existe e o denominador da segunda fração fica próximo de 2, não é zero), concluímos:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x} =1\cdot 1=1.

Resposta

1

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