Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte:
  • Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^{4}-1}{x^{3}-1}.
  • Especificar, em cada passagem, a propriedade utilizada.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma função racional formada por polinômios no numerador e denominador.
  • Se fizermos substituição direta x=1 obtemos no numerador 1^{4}-1=0 e no denominador 1^{3}-1=0. Logo a forma é indeterminada do tipo \frac{0}{0}, o que exige manipulação algébrica (ou outra técnica) antes de avaliar o limite.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (propriedade usada: escolha do método mais simples)
  • Há várias maneiras de tratar uma indeterminação \frac{0}{0}: fatoração, simplificação algébrica, regra de L’Hôpital (derivadas), desenvolvimento em série etc.
  • Aqui a forma envolve diferenças de potências inteiras; a técnica mais elementar e direta é fatorar numerador e denominador usando a identidade de diferença de potências. Essa abordagem não usa derivadas e é a que normalmente se pede em provas de cálculo inicial, então será usada. (Propriedade utilizada: fatoração de diferenças de potências.)

Passo 3

Lembrando a identidade geral (propriedade usada: fórmula de diferença de potências)
  • Para inteiros n\ge 1 vale
a^{n}-b^{n}=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos as fatorações necessárias.

Passo 4

Fatoração do numerador (propriedade usada: diferença de quadrados e produto de fatores)
  • Primeiro fatoramos x^{4}-1. Podemos ver como diferença de quadrados:
x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}-1)(x^{2}+1).
  • Em seguida fatoramos x^{2}-1 também como diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • Portanto
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).

Passo 5

Fatoração do denominador (propriedade usada: fórmula de diferença de potências para n=3)
  • Usando a fórmula para n=3 com a=x,b=1:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 6

Simplificação da razão (propriedade usada: cancelamento de fator comum e propriedade do limite em função igual em vizinhança puncturada)
  • Substituindo as fatorações na fração original temos, para x\neq 1,
\frac{x^{4}-1}{x^{3}-1} = \frac{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}.
  • Como x\neq 1 na vizinhança considerada ao calcular o limite, o fator comum (x-1) pode ser cancelado. (Propriedade usada: se duas funções são iguais em todos os pontos de uma vizinhança puncturada de um ponto, então têm o mesmo limite naquele ponto.)
  • Após o cancelamento obtemos a função simplificada, válida para x\neq 1:
\frac{x+1}{\,x^{2}+x+1\,}\,(x^{2}+1)\quad\text{ou melhor escrita}\quad \frac{(x+1)(x^{2}+1)}{x^{2}+x+1}.

Passo 7

Avaliação do limite por substituição (propriedade usada: continuidade de polinômios e operações algébricas)
  • Polinômios e quociente de polinômios (desde que o denominador não seja zero no ponto) são contínuos, logo após a simplificação basta substituir x=1.
  • Calculando cada fator em x=1:
x+1\big|_{x=1}=1+1=2, \qquad x^{2}+1\big|_{x=1}=1^{2}+1=2, \qquad x^{2}+x+1\big|_{x=1}=1+1+1=3.
  • Substituindo na expressão simplificada:
\frac{(1+1)(1^{2}+1)}{1^{2}+1+1}=\frac{2\cdot 2}{3}.

Passo 8

Cálculo final da fração (propriedade usada: aritmética básica)
  • Efetuando a multiplicação e divisão:
\frac{2\cdot 2}{3}=\frac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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