Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte:
- Calcular o limite
. - Especificar, em cada passagem, a propriedade utilizada.
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma função racional formada por polinômios no numerador e denominador.
- Se fizermos substituição direta
obtemos no numerador e no denominador . Logo a forma é indeterminada do tipo , o que exige manipulação algébrica (ou outra técnica) antes de avaliar o limite.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (propriedade usada: escolha do método mais simples)
- Há várias maneiras de tratar uma indeterminação
: fatoração, simplificação algébrica, regra de L’Hôpital (derivadas), desenvolvimento em série etc. - Aqui a forma envolve diferenças de potências inteiras; a técnica mais elementar e direta é fatorar numerador e denominador usando a identidade de diferença de potências. Essa abordagem não usa derivadas e é a que normalmente se pede em provas de cálculo inicial, então será usada. (Propriedade utilizada: fatoração de diferenças de potências.)
Passo 3
Lembrando a identidade geral (propriedade usada: fórmula de diferença de potências)
- Para inteiros
vale
Aplicando com
e
obtemos as fatorações necessárias.
Passo 4
Fatoração do numerador (propriedade usada: diferença de quadrados e produto de fatores)
- Primeiro fatoramos
. Podemos ver como diferença de quadrados:
- Em seguida fatoramos
também como diferença de quadrados:
- Portanto
Passo 5
Fatoração do denominador (propriedade usada: fórmula de diferença de potências para
)
- Usando a fórmula para
com :
Passo 6
Simplificação da razão (propriedade usada: cancelamento de fator comum e propriedade do limite em função igual em vizinhança puncturada)
- Substituindo as fatorações na fração original temos, para
,
- Como
na vizinhança considerada ao calcular o limite, o fator comum pode ser cancelado. (Propriedade usada: se duas funções são iguais em todos os pontos de uma vizinhança puncturada de um ponto, então têm o mesmo limite naquele ponto.) - Após o cancelamento obtemos a função simplificada, válida para
:
Passo 7
Avaliação do limite por substituição (propriedade usada: continuidade de polinômios e operações algébricas)
- Polinômios e quociente de polinômios (desde que o denominador não seja zero no ponto) são contínuos, logo após a simplificação basta substituir
. - Calculando cada fator em
:
- Substituindo na expressão simplificada:
Passo 8
Cálculo final da fração (propriedade usada: aritmética básica)
- Efetuando a multiplicação e divisão: