Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow -1} \frac{x^{2}+3 x+2}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -1} \frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é a razão \dfrac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-1}.
  • O ponto de interesse é x\to -1.
O que se busca: o valor numérico do limite quando x tende a -1.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituição direta para ver que tipo de forma obtemos. Calcular o numerador e o denominador em x=-1:
\text{numerador}:\quad (-1)^{2}+3(-1)+2 = 1-3+2 = 0,
\text{denominador}:\quad (-1)^{2}-1 = 1-1 = 0.
Portanto, ao substituir obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}.
Propriedade usada: avaliação direta (substituição) para testar o limite; reconhecer que 0/0 é uma forma indeterminada que exige manipulação algébrica (não permite concluir o limite só por substituição).

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador para tentar simplificar. Lembrando: factorização de quadrática procura dois números cujo produto é 2 e soma é 3. Esses números são 1 e 2. Assim:
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2).
O denominador é uma diferença de quadrados, que fatoriza como:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).
Propriedade usada: regras de fatoração (produto-soma para quadrática e diferença de quadrados).

Passo 4

Reescrevendo a fração com as fatorações:
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-1}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}.
Agora, para x\neq -1 é possível cancelar o fator comum (x+1), obtendo a função equivalente em qualquer vizinhança de -1 (exceto no próprio ponto x=-1):
\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+2}{x-1}\quad\text{para }x\neq -1.
Propriedade usada: cancelamento de fator comum em frações (válido para x onde o fator não é zero) e o fato útil para limites: se f(x)=g(x) em uma vizinhança pontuada de a (ou seja, iguais para todos x próximos de a, exceto possivelmente em a), então \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x).

Passo 5

Agora usamos a função simplificada \dfrac{x+2}{x-1} para calcular o limite. Antes de substituir, verificamos se o denominador ao avaliar em x=-1 é diferente de zero:
x-1\big|_{x=-1} = -1-1 = -2 \neq 0.
Como o denominador não é zero, a função racional \dfrac{x+2}{x-1} é contínua em x=-1. Pela propriedade da continuidade (ou pela regra do quociente de limites quando o limite do denominador é não nulo), podemos substituir x=-1 diretamente:
\lim_{x\to -1} \frac{x+2}{x-1} = \frac{(-1)+2}{(-1)-1} = \frac{1}{-2} = -\tfrac{1}{2}.
Propriedade usada: continuidade de polinômios e funções racionais (onde o denominador ≠ 0) e regra do quociente de limites (se \lim g(a)\neq 0 então \lim f/g = (\lim f)/(\lim g)).

Passo 6

Resumo lógico do que foi feito (para lembrar na prova): a substituição direta deu 0/0 (indeterminação) → fatoração para revelar fator comum (x+1) → cancelamento permitiu substituir por uma função igual em vizinhança pontuada → avaliar o limite da função simplificada por continuidade.
Propriedade usada: fechamento do raciocínio combinando as propriedades anteriores.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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