Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 3}\left[\left(x^{2}+2\right) \cdot\left(x^{2}-5 x\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\bigl[(x^{2}+2)\cdot(x^{2}-5x)\bigr].
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite queremos é o produto de duas funções: f(x)=x^{2}+2 e g(x)=x^{2}-5x.
  • O ponto de aproximação é x\rightarrow 3.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite e, em cada passagem, indicar qual propriedade de limites está sendo usada.

Passo 2

Lembrando propriedades de limite que usarei (explicação didática):
  • Propriedade do limite de soma/diferença: se \lim_{x\to a} u(x)=L e \lim_{x\to a} v(x)=M então
\lim_{x\to a}\bigl(u(x)\pm v(x)\bigr)=L\pm M.
Isto significa que pode-se somar (ou subtrair) os limites quando ambos existem.
  • Propriedade do limite de produto: se \lim_{x\to a} u(x)=L e \lim_{x\to a} v(x)=M então
\lim_{x\to a}\bigl(u(x)\cdot v(x)\bigr)=L\cdot M.
Ou seja, o limite do produto é o produto dos limites, quando ambos existem.
  • Propriedade do limite com constante: se c é constante e \lim_{x\to a} u(x)=L então
\lim_{x\to a} (c\cdot u(x))=c\cdot L.
  • Continuidade de polinômios (substituição): qualquer polinômio p(x) é contínuo em todo ponto a, o que implica
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Na prática, isso permite calcular limites de polinômios apenas substituindo x=a.
Vou usar essas propriedades passo a passo.

Passo 3

Calcular o limite do primeiro fator f(x)=x^{2}+2 quando x\to 3.
Usando a continuidade do polinômio (ou a propriedade de soma e de potenciação), temos primeiro
\lim_{x\to 3} x^{2} = 3^{2} = 9.
Aplicando a propriedade da soma com a constante 2,
\lim_{x\to 3} (x^{2}+2) = \lim_{x\to 3} x^{2} + \lim_{x\to 3} 2 = 9 + 2 = 11.
A propriedade usada: continuidade do polinômio / soma de limites.

Passo 4

Calcular o limite do segundo fator g(x)=x^{2}-5x quando x\to 3.
Posso separar em termos usando soma/diferença e constante múltipla:
\lim_{x\to 3} x^{2} = 9, \qquad \lim_{x\to 3} 5x = 5\cdot\lim_{x\to 3} x = 5\cdot 3 = 15.
Então, pela propriedade da diferença de limites,
\lim_{x\to 3} (x^{2}-5x) = 9 - 15 = -6.
As propriedades usadas: limite de potência, constante múltipla e diferença de limites; ou alternativamente continuidade do polinômio.

Passo 5

Agora aplico a propriedade do limite do produto: como \lim_{x\to 3} (x^{2}+2)=11 e \lim_{x\to 3} (x^{2}-5x)=-6, então
\lim_{x\to 3}\bigl[(x^{2}+2)\cdot(x^{2}-5x)\bigr] = 11\cdot(-6).
A propriedade usada: limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem).

Passo 6

Calcular a multiplicação final:
11\cdot(-6) = -66.

Resposta

-66

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