Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão cujo limite queremos é o produto de duas funções:
e . - O ponto de aproximação é
.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite e, em cada passagem, indicar qual propriedade de limites está sendo usada.
Passo 2
Lembrando propriedades de limite que usarei (explicação didática):
- Propriedade do limite de soma/diferença: se
e então
Isto significa que pode-se somar (ou subtrair) os limites quando ambos existem.
- Propriedade do limite de produto: se
e então
Ou seja, o limite do produto é o produto dos limites, quando ambos existem.
- Propriedade do limite com constante: se
é constante e então
- Continuidade de polinômios (substituição): qualquer polinômio
é contínuo em todo ponto , o que implica
Na prática, isso permite calcular limites de polinômios apenas substituindo
.
Vou usar essas propriedades passo a passo.
Passo 3
Calcular o limite do primeiro fator
quando
.
Usando a continuidade do polinômio (ou a propriedade de soma e de potenciação), temos primeiro
Aplicando a propriedade da soma com a constante
,
A propriedade usada: continuidade do polinômio / soma de limites.
Passo 4
Calcular o limite do segundo fator
quando
.
Posso separar em termos usando soma/diferença e constante múltipla:
Então, pela propriedade da diferença de limites,
As propriedades usadas: limite de potência, constante múltipla e diferença de limites; ou alternativamente continuidade do polinômio.
Passo 5
Agora aplico a propriedade do limite do produto: como
e
, então
A propriedade usada: limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem).
Passo 6
Calcular a multiplicação final: