Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}
usando as propriedades aritméticas de limite. O conteúdo é limite de função em ponto, com forma indeterminada \tfrac{0}{0}, e vamos precisar de manipulação algébrica (racionalização) e das propriedades de limite de soma, produto e quociente.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
\sqrt{0+1}-1 = 1-1 = 0, \quad \text{denominador }0,
logo \tfrac{0}{0}. Para eliminar essa indeterminação, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+1}+1.

Passo 3

Multiplicando por \sqrt{x+1}+1 e usando a propriedade de limite do produto (o limite do produto é produto dos limites, quando existirem) e do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites, se o denominador não tende a zero), obtemos para x\neq0:
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x\bigl(\sqrt{x+1}+1\bigr)} = \frac{x+1-1}{x\bigl(\sqrt{x+1}+1\bigr)} = \frac{x}{x\bigl(\sqrt{x+1}+1\bigr)}.

Passo 4

No trecho x\neq0 podemos cancelar o fator x em numerador e denominador. Pela propriedade de limite de quociente e cancelamento de fatores idênticos, fica
\frac{x}{x\bigl(\sqrt{x+1}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.

Passo 5

A função h(x)=\tfrac{1}{\sqrt{x+1}+1} é composta por funções contínuas em x=0 (identidade, soma, raiz quadrada e inverso). Assim, pelo teorema do limite de função contínua,
\lim_{x\to 0}h(x) = \frac{1}{\lim_{x\to 0}\bigl(\sqrt{x+1}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{0+1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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