Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
Passo 1
O enunciado pede calcular
usando as propriedades aritméticas de limite. O conteúdo é limite de função em ponto, com forma indeterminada
, e vamos precisar de manipulação algébrica (racionalização) e das propriedades de limite de soma, produto e quociente.
Passo 2
Verificamos a forma indeterminada substituindo
:
logo
. Para eliminar essa indeterminação, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
.
Passo 3
Multiplicando por
e usando a propriedade de limite do produto (o limite do produto é produto dos limites, quando existirem) e do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites, se o denominador não tende a zero), obtemos para
:
Passo 4
No trecho
podemos cancelar o fator
em numerador e denominador. Pela propriedade de limite de quociente e cancelamento de fatores idênticos, fica
Portanto
Passo 5
A função
é composta por funções contínuas em
(identidade, soma, raiz quadrada e inverso). Assim, pelo teorema do limite de função contínua,