Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
\lim _{x \rightarrow-\frac{3}{2}}\left(\frac{4 x^{2}-9}{2 x+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\tfrac{3}{2}}\frac{4x^{2}-9}{2x+3}.
O conteúdo é limite de função racional e vamos precisar de:
– fatoração de polinômios;
– propriedade do limite da soma e do produto por constante;
– propriedade do limite do quociente (aplicável após simplificação, pois em x=-\tfrac32 o denominador original zera).

Passo 2

Fatoramos o numerador como diferença de quadrados:
4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}=(2x-3)(2x+3).
Para x\neq -\tfrac32 podemos cancelar 2x+3:
\frac{4x^{2}-9}{2x+3} =\frac{(2x-3)(2x+3)}{2x+3} =2x-3.

Passo 3

Agora calculamos
\lim_{x\to -\tfrac{3}{2}}(2x-3).
Usamos que
\lim_{x\to a}[cf(x)]=c\lim_{x\to a}f(x), \quad \lim_{x\to a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
além de \lim_{x\to -\tfrac{3}{2}}x=-\tfrac{3}{2} e \lim_{x\to -\tfrac{3}{2}}3=3.
Logo
\lim_{x\to -\tfrac{3}{2}}2x =2\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)=-3, \quad \lim_{x\to -\tfrac{3}{2}}(-3)=-3,
\lim_{x\to -\tfrac{3}{2}}(2x-3)=(-3)+(-3)=-6.

Resposta

-6

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