Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
\lim _{x \rightarrow 5}\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}}
Vamos usar conteúdo de limites: propriedade do quociente de limites, soma de limites, produto de limites e a continuidade da função raiz quadrada. Também vamos empregar a técnica de racionalização para eliminar a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Tentando substituição direta, obtemos
\sqrt{5}-\sqrt{5}=0 \quad\text{e}\quad \sqrt{5+5}-\sqrt{10}=\sqrt{10}-\sqrt{10}=0,
logo a expressão é do tipo \tfrac{0}{0}, indeterminado.

Passo 3

Racionalizamos separadamente numerador e denominador:
\sqrt{x}-\sqrt{5} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5})}{\sqrt{x}+\sqrt{5}} = \frac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}},
\sqrt{x+5}-\sqrt{10} = \frac{(\sqrt{x+5}-\sqrt{10})(\sqrt{x+5}+\sqrt{10})}{\sqrt{x+5}+\sqrt{10}} = \frac{x-5}{\sqrt{x+5}+\sqrt{10}}.

Passo 4

Substituindo na fração original e simplificando o fator comum x-5, obtemos
\frac{\frac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}} {\frac{x-5}{\sqrt{x+5}+\sqrt{10}}} = \frac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}\;\cdot\;\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{10}}{x-5} = \frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{10}}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}.

Passo 5

Agora aplicamos o limite usando a propriedade do quociente e a continuidade da raiz:
\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{10}}{\sqrt{x}+\sqrt{5}} = \frac{\lim\limits_{x\to5}(\sqrt{x+5}+\sqrt{10})} {\lim\limits_{x\to5}(\sqrt{x}+\sqrt{5})}.
Pela soma de limites e continuidade,
\lim_{x\to5}\sqrt{x+5} = \sqrt{10}, \quad \lim_{x\to5}\sqrt{x} = \sqrt{5}.
Logo
\frac{\sqrt{10}+\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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