Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
\lim _{x \rightarrow-2}\left(\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3 x+2}\right)

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2}.
O tema aqui é limite de função racional e o que vamos precisar é:
  1. Testar a substituição direta para ver se dá uma forma indeterminada.
  2. Usar propriedades aritméticas de limites (soma, produto, quociente) e a continuidade dos polinômios.
  3. Fazer fatoração para eliminar a indeterminação caso seja \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Aplicando substituição direta, obtemos para o numerador e o denominador:
\text{num}(-2)=(-2)^{3}-(-2)^{2}-(-2)+10=-8-4+2+10=0,
\text{den}(-2)=(-2)^{2}+3\cdot(-2)+2=4-6+2=0.
Logo a expressão dá a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. A propriedade de limite de quociente só vale quando o limite do denominador for diferente de zero, então precisamos simplificar a expressão antes de usar essa propriedade.

Passo 3

Para simplificar, fatoramos numerador e denominador. Primeiro, o denominador:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Agora o numerador x^{3}-x^{2}-x+10. Vamos dividir por x+2 usando divisão sintética (ou polinomial):
  • Coeficientes: 1,\,-1,\,-1,\,10
  • Raiz de x+2 é -2.
    Fazendo a divisão:
\begin{array}{r|rrrr} -2 & 1 & -1 & -1 & 10\\\ & & -2 & 6 & -10\\hline & 1 & -3 & 5 & 0 \end{array}
O resto é zero, e o quociente é x^{2}-3x+5. Portanto
x^{3}-x^{2}-x+10=(x+2)\,(x^{2}-3x+5).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, temos
\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2} =\frac{(x+2)\,(x^{2}-3x+5)}{(x+2)\,(x+1)}.
Como x\neq -2 no processo de limite, podemos cancelar o fator comum x+2. A função simplificada passa a ser
g(x)=\frac{x^{2}-3x+5}{x+1}.
Aqui usamos a propriedade de limite do quociente junto com a continuidade dos polinômios e do fato de que o cancelamento não afeta o valor do limite.

Passo 5

Agora avaliamos o limite da função simplificada quando x\to -2. Como g é quociente de polinômios e o denominador em -2 é diferente de zero
g(-2)=\frac{(-2)^{2}-3\cdot(-2)+5}{-2+1} =\frac{4+6+5}{-1} =\frac{15}{-1} =-15.
Aqui usamos a propriedade da continuidade: o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador não zere.

Resposta

-15

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