Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
Passo 1
O enunciado nos pede calcular
O tema aqui é limite de função racional e o que vamos precisar é:
- Testar a substituição direta para ver se dá uma forma indeterminada.
- Usar propriedades aritméticas de limites (soma, produto, quociente) e a continuidade dos polinômios.
- Fazer fatoração para eliminar a indeterminação caso seja
.
Passo 2
Aplicando substituição direta, obtemos para o numerador e o denominador:
Logo a expressão dá a forma indeterminada
. A propriedade de limite de quociente só vale quando o limite do denominador for diferente de zero, então precisamos simplificar a expressão antes de usar essa propriedade.
Passo 3
Para simplificar, fatoramos numerador e denominador. Primeiro, o denominador:
Agora o numerador
. Vamos dividir por
usando divisão sintética (ou polinomial):
- Coeficientes:
- Raiz de
é .
Fazendo a divisão:
O resto é zero, e o quociente é
. Portanto
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original, temos
Como
no processo de limite, podemos cancelar o fator comum
. A função simplificada passa a ser
Aqui usamos a propriedade de limite do quociente junto com a continuidade dos polinômios e do fato de que o cancelamento não afeta o valor do limite.
Passo 5
Agora avaliamos o limite da função simplificada quando
. Como
é quociente de polinômios e o denominador em
é diferente de zero
Aqui usamos a propriedade da continuidade: o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o denominador não zere.