Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}
que é um quociente cujo numerador e denominador tendem a zero quando x\to3. O conteúdo envolve limites, em particular as propriedades aritméticas de limite e a fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Defina
a = \sqrt[3]{x},\quad b = \sqrt[3]{3}.
Então a^3 = x e b^3 = 3, de modo que
x-3 = a^3 - b^3.

Passo 3

Use a fatoração da diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a - b)\,(a^2 + ab + b^2).
Isolando a - b, obtemos
a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{x - 3}{a^2 + ab + b^2}.
Logo
\frac{a - b}{x - 3} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}.

Passo 4

Substituindo de volta a = \sqrt[3]{x} e b = \sqrt[3]{3}, o limite vira
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3} = \lim_{x\to3}\frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^2 + \sqrt[3]{x}\,\sqrt[3]{3} + \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^2}.
Como o denominador tende a um número não nulo, aplicamos a propriedade \displaystyle \lim\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\lim f(x)}.

Passo 5

Calculamos o limite do denominador:
\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^2 + \sqrt[3]{x}\,\sqrt[3]{3} + \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^2 \;\xrightarrow[x\to3]{}\; (\sqrt[3]{3})^2 + (\sqrt[3]{3})^2 + (\sqrt[3]{3})^2 = 3\,(\sqrt[3]{3})^2.
Portanto,
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3} = \frac{1}{3\,(\sqrt[3]{3})^2}.

Resposta

\frac{1}{3\,3^{2/3}}.

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