Mostre que \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) não existe (para isto, use a relação entre limite de função e sequências). Prove que \lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre limites em x\to0:
  1. Mostrar que \lim_{x\to0}\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr) não existe, usando a relação entre limite de função e limites de sequências.
  2. Provar que \lim_{x\to0}x\,\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr)=0.
Para isso, vamos usar:
  • Critério sequencial de existência de limite: \lim_{x\to a}f(x)=L existe se, e somente se, para toda sequência (x_n) com x_n\neq a e x_n\to a, a sequência f(x_n) converge para L.
  • Para o segundo limite, usaremos o Teorema do Confronto (squeeze).

Passo 2

Escolhemos duas sequências \bigl(x_n\bigr) e \bigl(y_n\bigr) que tendem a 0, mas fazem \sin(1/x) oscilar em dois valores distintos:
x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{x_n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\Bigl(\tfrac1{x_n}\Bigr)=1,
y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{y_n}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad\Longrightarrow\quad \sin\!\Bigl(\tfrac1{y_n}\Bigr)=-1.
Note que x_n\to0 e y_n\to0 quando n\to\infty.

Passo 3

Pelo critério sequencial, se \lim_{x\to0}\sin(1/x) existisse e fosse igual a algum L, então em particular \sin(1/x_n)\to L e \sin(1/y_n)\to L.
Mas encontramos
\sin\bigl(\tfrac1{x_n}\bigr)=1\quad\forall n, \qquad \sin\bigl(\tfrac1{y_n}\bigr)=-1\quad\forall n.
Logo uma subsequência fica estacionária em 1 e outra em -1, não podendo ambas convergir para o mesmo L.
Portanto \lim_{x\to0}\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr) não existe.

Passo 4

Para \lim_{x\to0}x\sin(\tfrac1x), note que para todo x\neq0 vale
\bigl|x\,\sin(\tfrac1x)\bigr| \le |x|\cdot\underbrace{\bigl|\sin(\tfrac1x)\bigr|}_{\le1} =|x|.
Como \lim_{x\to0}|x|=0, pelo Teorema do Confronto temos
\lim_{x\to0}x\,\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr)=0.

Resposta

  1. \displaystyle\lim_{x\to0}\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr) não existe.
  2. \displaystyle\lim_{x\to0}x\,\sin\!\bigl(\tfrac1x\bigr)=0.

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