Calcule os limites a seguir:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente está lidando com limites de funções que envolvem exponenciais e cossenos. Pra resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de
e, possivelmente, usar a Regra de L’Hôpital se a gente ficar com uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
A gente ficou com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de outra estratégia para resolver esse limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se o limite de
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
desde que esse novo limite exista.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital no nosso limite. Precisamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador (
):
Derivada do denominador (
):
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos agora calcular esse limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a
.