Explique o que significa dizer que
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=3 \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=7
Nesta situação, é possível que \lim _{x \rightarrow 1} f(x) exista? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá duas informações sobre limites unilaterais em torno de x=1:
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=3.
  • \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=7.
A pergunta é: nesta situação, é possível que \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) (o limite bilateral) exista? Devemos explicar por quê.

Passo 2

Primeiro, o que exatamente significa cada uma dessas equalidades (de um jeito bem claro e passo a passo)?
  • Dizer \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=3 significa: quando x se aproxima de 1 vindo pela esquerda (isto é, por valores x<1), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de 3. Em linguagem mais precisa: para todo \varepsilon>0 existe \delta_{-}>0 tal que, se 0<1-x<\delta_{-} (ou seja, x<1 e |x-1|<\delta_{-}), então |f(x)-3|<\varepsilon.
  • Dizer \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=7 significa: quando x se aproxima de 1 vindo pela direita (isto é, por valores x>1), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de 7. Formalmente: para todo \varepsilon>0 existe \delta_{+}>0 tal que, se 0<x-1<\delta_{+} (ou seja, x>1 e |x-1|<\delta_{+}), então |f(x)-7|<\varepsilon.
Resumo intuitivo: aproximando-se de 1 pela esquerda, f(x) tende a 3; aproximando-se pela direita, f(x) tende a 7.

Passo 3

Agora, o que significa a existência do limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)? Por definição, \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=L existe e vale L se, quando x se aproxima de 1 por qualquer lado (esquerda ou direita), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L. Formalmente: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.
Uma propriedade-chave (muito usada e fácil de lembrar) é:
\text{O limite bilateral } \lim_{x\to 1} f(x) \text{ existe e é igual a }L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=L \text{ e } \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=L.é
Ou seja: o limite bilateral existe exatamente quando os dois limites laterais existem e são iguais entre si.

Passo 4

Vou justificar rápida e claramente por que a propriedade do passo anterior é verdadeira (é um pequeno “mini-ensaio” de demonstração, mas fácil):
  • Se \lim_{x\to 1} f(x)=L, então a definição do limite bilateral já implica a verdade das duas definições unilaterais (basta restringir os x à esquerda ou à direita de 1). Logo as duas limites laterais existem e valem L.
  • Reciprocamente, se \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=L e \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=L, então existem \delta_{-} e \delta_{+} que garantem aproximação dentro de qualquer \varepsilon nos dois lados. Tomando \delta=\min(\delta_{-},\delta_{+}) obtemos que para todo x com 0<|x-1|<\delta (seja vindo da esquerda ou da direita) vale |f(x)-L|<\varepsilon. Isso é precisamente a definição do limite bilateral. Portanto o limite bilateral existe e vale L.
Isso mostra a equivalência e explica por que comparar os dois limites laterais é a maneira certa de testar existência do limite geral.

Passo 5

Aplicando isso ao caso dado: as duas limites laterais são diferentes, uma vale 3 e a outra vale 7. Como a existência do limite bilateral exige que as duas laterais sejam iguais ao mesmo número L, não é possível que exista um L tal que ambas sejam iguais a L. Logo o limite bilateral não existe.
Uma maneira simples e convincente de ver isso por contradição: suponha que \lim_{x\to 1} f(x)=L exista. Então, tomando \varepsilon=\dfrac{|3-7|}{2}=\dfrac{4}{2}=2, por definição do limite bilateral haveria \delta>0 tal que, para qualquer x com 0<|x-1|<\delta, tem-se |f(x)-L|<2. Mas aproximando por valores x<1 obtém-se f(x) muito perto de 3, logo L deveria estar a menos de 2 de 3, isto é |L-3|<2. Aproximando por x>1 obtém-se f(x) muito perto de 7, logo |L-7|<2. Essas duas desigualdades implicam |3-7| \le |3-L|+|L-7| < 2+2 =4, o que é contraditório porque |3-7|=4. Portanto não existe tal L.

Passo 6

Para fixar a intuição, veja um exemplo concreto e simples que produz exatamente essa situação: defina a função por partes
f(x)=\begin{cases} 3, & x<1,\\[4pt] 0, & x=1,\\[4pt] 7, & x>1. \end{cases}
Aqui claramente \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=3 e \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=7, mas \lim_{x\to 1} f(x) não existe porque ao aproximar por cada lado obtém-se valores diferentes. Repare que o valor em x=1 (aqui escolhi 0) não influi na existência do limite; o limite depende só do comportamento próxima a 1, não do valor no ponto.]

Passo 7

Resumo em palavras simples e motivadoras: se a função “se aproxima” de dois números diferentes quando você vem da esquerda e da direita, então não há um único número que ela esteja realmente buscando quando x vai para 1. Por isso o limite em 1 não existe nesse caso — é impossível ser ao mesmo tempo 3 e 7. Você já tem a regra prática: verifique os dois limites laterais; se forem iguais, o limite existe e é esse valor; se forem diferentes, o limite não existe. Vai dar certo na prova — respira, revisa esse raciocínio e resolve alguns exemplos semelhantes.

Resposta

Não. \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) não existe, pois os limites laterais são diferentes ( 3 e 7), e o limite bilateral existe somente quando as duas cotas laterais coincidem.

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