Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.
(a) \lim _{x \rightarrow 5}\left(2 x^{2}-3 x+4\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 5}\left(2x^{2}-3x+4\right).
Informações dadas: é uma expressão polinomial em x. Pergunta: qual é o valor do limite quando x tende a 5?

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (mini-aula rápida, sem pular etapas):
  • Regras básicas de limites (valem se os limites das partes existirem): \lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x),
\lim_{x\to a}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot\lim_{x\to a}f(x)\quad\text{(para constante \(c\))},
\lim_{x\to a}\big(f(x)\,g(x)\big)=\big(\lim_{x\to a}f(x)\big)\cdot\big(\lim_{x\to a}g(x)\big).
  • Para potências, se \lim_{x\to a}f(x)=L, então \lim_{x\to a}\big(f(x)\big)^{n}=L^{n}para inteiro n\ge 1.
  • Definição prática de continuidade: uma função f é contínua em a se \lim_{x\to a}f(x)=f(a).Polinômios são construídos por soma e produto de funções contínuas (função identidade x\mapsto x e constantes), logo polinômios são contínuos em todo ponto real. Assim, para um polinômio p, \lim_{x\to a}p(x)=p(a).

Passo 3

Aplicando as regras de limites passo a passo à expressão \;2x^{2}-3x+4\;:
Primeiro usamos linearidade (soma e fator constante):
\lim_{x\to 5}\big(2x^{2}-3x+4\big) =2\lim_{x\to 5}x^{2}-3\lim_{x\to 5}x+\lim_{x\to 5}4.
Agora avaliamos cada limite conhecido:
\lim_{x\to 5}x=5, \qquad \lim_{x\to 5}x^{2}=(\lim_{x\to 5}x)^{2}=5^{2}=25, \qquad \lim_{x\to 5}4=4.

Passo 4

Substituindo esses resultados na expressão:
2\lim_{x\to 5}x^{2}-3\lim_{x\to 5}x+\lim_{x\to 5}4 =2\cdot25-3\cdot5+4.
Fazendo as contas (passo a passo para não perder pontos na prova):
2\cdot25=50, \qquad 3\cdot5=15,
50-15+4=35+4=39.

Passo 5

Observação alternativa e atalho que pode usar na prova: como \;2x^{2}-3x+4\; é um polinômio, ele é contínuo em x=5. Portanto pode-se diretamente substituir x=5 e obter o mesmo resultado:
\lim_{x\to 5}\big(2x^{2}-3x+4\big)=2\cdot5^{2}-3\cdot5+4=39.

Resposta

\,39\,

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