Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente:
2 \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}} ; y(1)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
2\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}}
com y(1)=1.
Informações relevantes:
\text{(i)}\quad 2\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}}.
\text{(ii)}\quad y(1)=1.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para uma forma mais clara. Dividindo ambos os lados por 2 obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}}\right).
Agora escrevo os termos separados:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x}\,y-\frac{x}{2}\,y^{-2}.
Repare que a equação tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=-\dfrac{1}{2x}, Q(x)=-\dfrac{x}{2} e n=-2. Essa é exatamente a forma da equação de Bernoulli. A ideia do método de Bernoulli é transformar a equação não linear numa equação linear por meio da substituição
u=y^{1-n}.
Aqui 1-n=1-(-2)=3, portanto faremos a substituição
u=y^{3}.
Antes de aplicar, explico por que isso funciona: se u=y^{3} então du/dx=3y^{2}\,dy/dx; ao multiplicar a equação original por 3y^{2} os termos se rearranjam de modo a dar uma equação linear em u.

Passo 3

Faço a substituição. Primeiro escrevo a equação original multiplicada por 3y^{2}:
3y^{2}\frac{dy}{dx}=3y^{2}\left(\frac{1}{2x}y-\frac{x}{2}y^{-2}\right).
Calculo o lado direito passo a passo:
3y^{2}\cdot\frac{1}{2x}y=\frac{3}{2x}y^{3}, \qquad 3y^{2}\cdot\left(-\frac{x}{2}y^{-2}\right)=-\frac{3x}{2}.
Então a igualdade fica
3y^{2}\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2x}y^{3}-\frac{3x}{2}.
Agora uso u=y^{3} e du/dx=3y^{2}\,dy/dx. Substituindo:
\frac{du}{dx}=\frac{3}{2x}u-\frac{3x}{2}.
Reorganizando em forma padrão de equação linear de primeira ordem:
\frac{du}{dx}-\frac{3}{2x}u=-\frac{3x}{2}.

Passo 4

Vamos resolver a equação linear em u:
\frac{du}{dx}-\frac{3}{2x}u=-\frac{3x}{2}.
Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\left(\int -\frac{3}{2x}\,dx\right)=\exp\!\left(-\frac{3}{2}\ln x\right)=x^{-3/2}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x)=x^{-3/2} obtemos
x^{-3/2}\frac{du}{dx}-\frac{3}{2x}x^{-3/2}u = -\frac{3x}{2}x^{-3/2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\!\big(x^{-3/2}u\big). O lado direito simplifica:
-\frac{3x}{2}x^{-3/2}=-\frac{3}{2}x^{-1/2}.
Logo
\frac{d}{dx}\big(x^{-3/2}u\big)=-\frac{3}{2}x^{-1/2}.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
x^{-3/2}u=\int -\frac{3}{2}x^{-1/2}\,dx.
Faço a integral do lado direito:
\int x^{-1/2}\,dx=2x^{1/2},
então
\int -\frac{3}{2}x^{-1/2}\,dx=-\frac{3}{2}\cdot 2x^{1/2}=-3x^{1/2}.
Adiciono uma constante de integração C:
x^{-3/2}u=-3x^{1/2}+C.
Multiplico por x^{3/2} para isolar u:
u=-3x^{2}+C x^{3/2}.

Passo 6

Lembro que u=y^{3}. Então
y^{3}=-3x^{2}+C x^{3/2}.
Agora uso a condição inicial y(1)=1. Substituo x=1 e y=1:
1^{3}=-3\cdot 1^{2}+C\cdot 1^{3/2}\quad\Rightarrow\quad 1=-3+C.
Daí C=4. Substituindo C em y^{3} obtemos
y^{3}=-3x^{2}+4x^{3/2}.

Passo 7

Resolvendo para y por raiz cúbica:
y(x)=\big(-3x^{2}+4x^{3/2}\big)^{1/3}.
Posso simplificar fatorando x^{3/2}:
y^{3}=x^{3/2}\big(4-3\sqrt{x}\big)
e então
y(x)=x^{1/2}\big(4-3\sqrt{x}\big)^{1/3}.
Escolhemos a raiz cúbica real tal que y(1)=1 (no ponto x=1 isso dá y=1 mesmo). Observação sobre domínio: a equação original exige x\neq 0 (pois aparece y/x) e o uso de \sqrt{x} pede x\ge 0 se quisermos interpretar \sqrt{x} real; aqui trabalhamos para x>0.

Resposta

y(x)=x^{1/2}\big(4-3\sqrt{x}\big)^{1/3}

Exercícios relacionados