Resolva o PVI, determinando a solução particular correspondente:
2 \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}} ; y(1)=1
2 \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}} ; y(1)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
com
.
Informações relevantes:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para uma forma mais clara. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Agora escrevo os termos separados:
Repare que a equação tem a forma
com
,
e
. Essa é exatamente a forma da equação de Bernoulli. A ideia do método de Bernoulli é transformar a equação não linear numa equação linear por meio da substituição
Aqui
, portanto faremos a substituição
Antes de aplicar, explico por que isso funciona: se
então
; ao multiplicar a equação original por
os termos se rearranjam de modo a dar uma equação linear em
.
Passo 3
Faço a substituição. Primeiro escrevo a equação original multiplicada por
:
Calculo o lado direito passo a passo:
Então a igualdade fica
Agora uso
e
. Substituindo:
Reorganizando em forma padrão de equação linear de primeira ordem:
Passo 4
Vamos resolver a equação linear em
:
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
. O lado direito simplifica:
Logo
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
Faço a integral do lado direito:
então
Adiciono uma constante de integração
:
Multiplico por
para isolar
:
Passo 6
Lembro que
. Então
Agora uso a condição inicial
. Substituo
e
:
Daí
. Substituindo
em
obtemos
Passo 7
Resolvendo para
por raiz cúbica:
Posso simplificar fatorando
:
e então
Escolhemos a raiz cúbica real tal que
(no ponto
isso dá
mesmo). Observação sobre domínio: a equação original exige
(pois aparece
) e o uso de
pede
se quisermos interpretar
real; aqui trabalhamos para
.