Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve a função
próxima de
. O objetivo é encontrar o valor numérico da razão quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Escolha do método (breve justificativa): vou usar expansões em série (desenvolvimento de Taylor) de seno e cosseno perto de zero para obter a expansão de
. Isso é prático porque
e com as séries até ordem adequada conseguimos ler diretamente o termo de ordem
. Outra opção seria aplicar l’Hôpital várias vezes, mas isso fica mais trabalhoso. A expansão em série é a maneira mais direta e comum para limites desse tipo.
Passo 3
Lembrando as séries de Taylor centradas em
(essas fórmulas vêm do cálculo das derivadas em zero):
Explicação rápida do que é
: escrever
significa que
. Ou seja,
é um termo de ordem estritamente superior a
e desaparece quando dividido por
.
Passo 4
Vamos escrever
. Primeiro precisamos da inversa de
até termos de ordem
. Como
podemos usar a expansão do inverso (tipo série geométrica) para obter
Verificação rápida:
, então o termo apresentado está correto até a ordem necessária.
Passo 5
Multiplicando
pela expansão de
:
Agora efetuamos a multiplicação e guardamos termos até ordem
:
Isso dá
Calcule o coeficiente:
Portanto
Passo 6
Subtraindo
e dividindo por
:
Pelo significado de
, tem-se
. Assim o limite é