Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}.
Informações dadas: a expressão envolve a função \tan x próxima de x=0. O objetivo é encontrar o valor numérico da razão quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Escolha do método (breve justificativa): vou usar expansões em série (desenvolvimento de Taylor) de seno e cosseno perto de zero para obter a expansão de \tan x. Isso é prático porque \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e com as séries até ordem adequada conseguimos ler diretamente o termo de ordem x^{3}. Outra opção seria aplicar l’Hôpital várias vezes, mas isso fica mais trabalhoso. A expansão em série é a maneira mais direta e comum para limites desse tipo.

Passo 3

Lembrando as séries de Taylor centradas em 0 (essas fórmulas vêm do cálculo das derivadas em zero):
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + o(x^{3}) = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}),
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + o(x^{2}) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}).
Explicação rápida do que é o(\cdot): escrever r(x)=o(x^{3}) significa que \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{r(x)}{x^{3}}=0. Ou seja, r(x) é um termo de ordem estritamente superior a x^{3} e desaparece quando dividido por x^{3}.

Passo 4

Vamos escrever \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Primeiro precisamos da inversa de \cos x até termos de ordem x^{2}. Como
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}),
podemos usar a expansão do inverso (tipo série geométrica) para obter
\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})} = 1 + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}).
Verificação rápida: \bigl(1 + \tfrac{x^{2}}{2}\bigr)\bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr)=1 - \tfrac{x^{4}}{4}=1+o(x^{2}), então o termo apresentado está correto até a ordem necessária.

Passo 5

Multiplicando \sin x pela expansão de 1/\cos x:
\tan x = \left(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})\right)\left(1 + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\right).
Agora efetuamos a multiplicação e guardamos termos até ordem x^{3}:
\tan x = x\cdot 1 + x\cdot\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6}\cdot 1 + o(x^{3}).
Isso dá
\tan x = x + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}) = x + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^{3} + o(x^{3}).
Calcule o coeficiente:
\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Portanto
\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3}).

Passo 6

Subtraindo x e dividindo por x^{3}:
\frac{\tan x - x}{x^{3}} = \frac{\displaystyle\frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})}{x^{3}} = \frac{1}{3} + \frac{o(x^{3})}{x^{3}}.
Pelo significado de o(x^{3}), tem-se \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{o(x^{3})}{x^{3}}=0. Assim o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}} = \frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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