Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow e} \frac{x-e}{\ln x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x se aproxima de e:
\lim_{x\to e}\frac{x-e}{\ln x - 1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma razão entre duas funções: numerador x-e e denominador \ln x - 1.
  • A função \ln x está definida para x>0, então não há problema de domínio perto de x=e.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Teste por substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo x=e:
  • Numerador: x-e com x=e e-e=0.
  • Denominador: \ln x - 1 com x=e \ln e - 1 = 1-1=0.
Portanto a forma obtida é 0/0, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição e precisamos usar uma técnica (por exemplo L’Hôpital ou uma substituição/adaptação).

Passo 3

Vamos usar a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta para resolver limites na forma indeterminada 0/0 (ou \infty/\infty). Enunciado simples da regra (versão prática):
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e f e g são diferenciáveis em um intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a), e g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando o limite à direita existir (ou for \pm\infty).
Aplicando aqui:
  • Tome f(x)=x-e e g(x)=\ln x - 1.
  • Derivadas: f'(x)=1 e g'(x)=\dfrac{1}{x}.
    Pela regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to e}\frac{x-e}{\ln x - 1} = \lim_{x\to e}\frac{1}{1/x}.
Calcule a razão das derivadas:
\frac{1}{1/x}=x.
Portanto o limite passa a ser
\lim_{x\to e} x = e.

Passo 4

Para reforçar a compreensão, apresento um método alternativo por substituição (é bom saber mais de um caminho):
  • Faça a mudança de variável t=\ln x. Quando x\to e, tem-se t\to 1.
  • Note que x=e^t. Reescrevendo a expressão:
\frac{x-e}{\ln x - 1} = \frac{e^t - e}{t-1} = e\cdot\frac{e^{t-1}-1}{t-1}.
Agora faça s=t-1. Então s\to 0 quando t\to 1, e
e\cdot\frac{e^{t-1}-1}{t-1} = e\cdot\frac{e^{s}-1}{s}.
É conhecido (ou pode-se justificar via série ou derivada da exponencial) que
\lim_{s\to 0}\frac{e^{s}-1}{s}=1.
Logo o limite vale e\cdot 1=e, consistente com o resultado pelo L’Hôpital.

Passo 5

Interpretação e comentário final rápido: o limite existiu e é e. A regra de L’Hôpital foi a forma mais direta aqui porque deu uma derivada simples; a substituição mostra a mesma ideia vista como derivada da função exponencial em zero.

Resposta

e

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