Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma razão entre duas funções: numerador
e denominador . - A função
está definida para , então não há problema de domínio perto de . - A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?
Passo 2
Teste por substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo
:
- Numerador:
com dá . - Denominador:
com dá .
Portanto a forma obtida é
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição e precisamos usar uma técnica (por exemplo L’Hôpital ou uma substituição/adaptação).
Passo 3
Vamos usar a regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta para resolver limites na forma indeterminada
(ou
). Enunciado simples da regra (versão prática):
- Se
e , e e são diferenciáveis em um intervalo ao redor de (exceto possivelmente em ), e próximo de , então
quando o limite à direita existir (ou for
).
Aplicando aqui:
- Tome
e . - Derivadas:
e .
Pela regra de L’Hôpital:
Calcule a razão das derivadas:
Portanto o limite passa a ser
Passo 4
Para reforçar a compreensão, apresento um método alternativo por substituição (é bom saber mais de um caminho):
- Faça a mudança de variável
. Quando , tem-se . - Note que
. Reescrevendo a expressão:
Agora faça
. Então
quando
, e
É conhecido (ou pode-se justificar via série ou derivada da exponencial) que
Logo o limite vale
, consistente com o resultado pelo L’Hôpital.
Passo 5
Interpretação e comentário final rápido: o limite existiu e é
. A regra de L’Hôpital foi a forma mais direta aqui porque deu uma derivada simples; a substituição mostra a mesma ideia vista como derivada da função exponencial em zero.