Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • Estamos aproximando x por valores positivos muito pequenos ( x\to 0^{+}).
  • Quando x\to 0^{+} temos \ln x \to -\infty e \sqrt{x}\to 0^{+}.
  • A expressão tem numerador que tende a -\infty e denominador que tende a 0^{+}. Isso sugere que a razão pode divergir (para -\infty ou para um valor finito), mas é preciso transformar e analisar com cuidado para concluir corretamente.

Passo 2

Uma boa ideia é simplificar a raiz quadrada fazendo uma mudança de variável. Seja x=y^{2}. Quando x\to 0^{+} temos y\to 0^{+}. Vamos reescrever a expressão em função de y.

Passo 3

Calcule as partes com x=y^{2}:
\ln x = \ln(y^{2})=2\ln y, \qquad \sqrt{x}=y.
Portanto a expressão original fica
\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\frac{2\ln y}{y}.

Passo 4

Agora substituímos y=\dfrac{1}{u} para transformar o limite em um limite quando u\to +\infty. Se y\to 0^{+} então u\to +\infty. Usando y=1/u:
\frac{2\ln y}{y} =2\cdot\frac{\ln(1/u)}{1/u} =2\cdot\frac{-\ln u}{1/u} =2\cdot(-\ln u)\cdot u =-2\,u\ln u.
Assim o problema reduz-se a analisar o comportamento de -2\,u\ln u quando u\to +\infty.

Passo 5

Analisar \,u\ln u quando u\to +\infty: ambos fatores crescem sem limite ( u\to\infty e \ln u\to\infty), logo o produto u\ln u\to +\infty. Mais concretamente, para u grande temos \ln u>0 e u\ln u cresce sem bound; portanto
-2\,u\ln u \longrightarrow -\infty\quad\text{quando }u\to +\infty.
Isso mostra que a expressão transformada diverge para -\infty.

Passo 6

Conclusão: como pela mudança de variáveis a expressão original é igual a -2\,u\ln u com u\to\infty, obtemos
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = -\infty.
(Uma observação extra, caso prefira outra técnica: com x=e^{-t} leva-se a -t e^{t/2} com t\to\infty, e como a exponencial domina t isso também dá -\infty.)

Resposta

-\infty

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