Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- Estamos aproximando
por valores positivos muito pequenos ( ). - Quando
temos e . - A expressão tem numerador que tende a
e denominador que tende a . Isso sugere que a razão pode divergir (para ou para um valor finito), mas é preciso transformar e analisar com cuidado para concluir corretamente.
Passo 2
Uma boa ideia é simplificar a raiz quadrada fazendo uma mudança de variável. Seja
. Quando
temos
. Vamos reescrever a expressão em função de
.
Passo 3
Calcule as partes com
:
Portanto a expressão original fica
Passo 4
Agora substituímos
para transformar o limite em um limite quando
. Se
então
. Usando
:
Assim o problema reduz-se a analisar o comportamento de
quando
.
Passo 5
Analisar
quando
: ambos fatores crescem sem limite (
e
), logo o produto
. Mais concretamente, para
grande temos
e
cresce sem bound; portanto
Isso mostra que a expressão transformada diverge para
.
Passo 6
Conclusão: como pela mudança de variáveis a expressão original é igual a
com
, obtemos
(Uma observação extra, caso prefira outra técnica: com
leva-se a
com
, e como a exponencial domina
isso também dá
.)