Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-3^{-}} \frac{2-x^{2}}{x^{2}+2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite lateral
\lim_{x\to -3^{-}} \frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 2x - 3}.
Informações dadas relevantes:
  • A função é a razão \dfrac{2-x^{2}}{x^{2}+2x-3}.
  • Pedimos o limite quando x se aproxima de -3 pela esquerda (ou seja, x<-3 e x\to -3).
  • Precisamos observar o comportamento do numerador e do denominador perto de x=-3, especialmente se algum deles se anula.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador para ver se ele zera em x=-3. Calculamos
x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1),
pois (x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3. Assim a função fica
\frac{2-x^{2}}{x^{2}+2x-3}=\frac{2-x^{2}}{(x+3)(x-1)}.

Passo 3

Avalio o numerador e o fator não nulo do denominador em x=-3:
2-x^{2}\Big|_{x=-3}=2-(-3)^{2}=2-9=-7,
x-1\Big|_{x=-3}=-3-1=-4.
Observação importante: o numerador tende a -7 quando x\to -3 (valor finito e diferente de zero). O fator (x-1) tende a -4 (também finito e diferente de zero). O único fator que se anula em x=-3 é (x+3).

Passo 4

Quando o denominador tem um fator que vai a zero enquanto o numerador tende a um número diferente de zero, a razão tende a infinito em módulo. Para determinar se é +\infty ou -\infty precisamos analisar o sinal da expressão perto de x=-3 pela esquerda.
Reescrevo a função isolando o fator que zera:
\frac{2-x^{2}}{(x+3)(x-1)}=\frac{2-x^{2}}{x-1}\cdot\frac{1}{x+3}.
Como x\to -3, a primeira fração \dfrac{2-x^{2}}{x-1} tende ao valor
\frac{-7}{-4}=\frac{7}{4},
ou seja, tende a 7/4 (positivo). O comportamento singular vem então do fator \dfrac{1}{x+3}, que diverge quando x+3\to 0.

Passo 5

Agora uso o fato de que estamos aproximando por x\to -3^{-}, isto é, x+3\to 0^{-} (o incremento x+3 é negativo e tende a zero). Então \dfrac{1}{x+3} tende a -\infty porque dividimos 1 por um número negativo cada vez mais próximo de zero.
Multiplicando o limite da parte que tende a 7/4 por \dfrac{1}{x+3} que tende a -\infty, obtemos
\frac{7}{4}\cdot(-\infty) = -\infty.
Portanto a razão inteira tende a -\infty quando x\to -3^{-}.

Resposta

-\infty

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