Prove que os módulos de resistência “Wx” e “Wy” do perfil W690x217 são 6730 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~mm}^{3} e 1040 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~mm}^{3}, respectivamente (apêndice C , hibbeller, 5edit, pg. 766).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Provar que os módulos de resistência do perfil W690x217 são 6730\times 10^{3}\,\mathrm{mm}^{3} (para o eixo forte, aqui chamado de W_x) e 1040\times 10^{3}\,\mathrm{mm}^{3} (para o eixo fraco, W_y) conforme apêndice C do Hibbeler (5ª ed., p. 766).
Informações necessárias fornecidas (diretamente pelo enunciado):
  • O enunciado cita o resultado final e a referência (apêndice C do Hibbeler).
Informações necessárias que faltam no texto que você me enviou:
  • Para calcular e “provar” numericamente os valores de W_x e W_y precisamos das dimensões geométricas do perfil W690x217 (valores numéricos de profundidade total, largura da mesa, espessura da mesa, espessura do alma, etc.) que estão na Tabela do apêndice C do Hibbeler. Essas dimensões não foram enviadas aqui.
  • Como eu não tenho a tabela nem os valores de d, b_f, t_f, t_w (ou quaisquer notações equivalentes usados na tabela), não posso inserir números concretos para recomputar I_x, I_y e então W_x, W_y.
Observação importante:
  • Vou mostrar passo a passo e didaticamente o método completo (fórmulas, decomposição da seção, aplicações do teorema dos eixos paralelos, etc.) que permite provar os valores numéricos assim que forem substituídas as dimensões da Tabela do Hibbeler. Se você quiser, depois pode me enviar os valores numéricos do apêndice e eu faço a conta numérica exatamente e mostro que chegam aos resultados indicados.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (explicado passo a passo):
  • O módulo de resistência em relação a um eixo é definido por
W = \frac{I}{c},
onde I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo que passa pelo centroide (momento de inércia centroidal) e c é a distância do centroide até a fibra mais afastada (extremo da seção) ao longo da direção de interesse.
Explicando cada símbolo:
  • I: momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal (unidade \mathrm{mm}^4).
  • c: distância do centroide até a extremidade da seção na direção do eixo considerado (unidade \mathrm{mm}).
  • W: módulo de resistência (unidade \mathrm{mm}^3).
Fórmulas úteis para retângulos (que usaremos ao decompor a seção):
  • Para um retângulo de largura b (no sentido do eixo y) e altura h (no sentido do eixo x), o momento de inércia em relação ao eixo centroidal horizontal (eixo x, corta a altura ao meio) é
I_x^{\text{ret}}=\frac{b\,h^{3}}{12}.
  • O momento de inércia em relação ao eixo vertical centroidal (eixo y) é
I_y^{\text{ret}}=\frac{h\,b^{3}}{12}.
  • Teorema dos eixos paralelos: se uma peça de área A tem momento de inércia em relação ao seu próprio eixo centroidal I_{cent}, então seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo separado por distância d é
I = I_{cent} + A d^{2}.
Explicação: somamos a inércia em torno do eixo que passa pelo próprio centro mais a contribuição devido à distância entre centros.

Passo 3

Modelo geométrico do perfil W (como decompor a viga W em retângulos simples):
  • Um perfil wide-flange (W) pode ser aproximado geometricamente como a união de três retângulos principais:
    1. Alma (web): retângulo de altura h_w e espessura t_w.
    2. Mesa superior (top flange): retângulo de largura b_f e espessura t_f.
    3. Mesa inferior (bottom flange): idêntica à superior.
  • Notação que vou usar (você encontrará os valores correspondentes na tabela do Hibbeler):
    • d: profundidade total do perfil (altura total).
    • b_f: largura da mesa (flange breadth).
    • t_f: espessura da mesa (flange thickness).
    • t_w: espessura da alma (web thickness).
    • h_w: altura útil da alma, dada por \,h_w = d - 2t_f.
Observações sobre o centroide:
  • O perfil W é simétrico em relação ao plano horizontal mediano se as mesas superior e inferior são idênticas; portanto o centroide fica no meio da altura e também no centro em relação à largura. Assim:
    • Distância do centroide até a fibra extrema superior (ou inferior) é c_x = \dfrac{d}{2}.
    • Distância do centroide até a fibra extrema lateral (metade da largura total) é c_y = \dfrac{b_f}{2}.
  • Essas simplificações eliminam a necessidade de calcular a posição do centroide por soma de áreas (porque a seção é simétrica).

Passo 4

Cálculo detalhado de I_x (momento de inércia em torno do eixo horizontal centroidal) — passo a passo com todas as contas simbólicas:
  • Para a alma (web): retângulo de largura b=t_w e altura h=h_w. Então,
I_{x,\text{web}}=\frac{t_w\,h_w^{3}}{12}.
  • Para cada mesa (flange): retângulo de largura b=b_f (no sentido lateral) e altura h=t_f (espessura). O momento de inércia centroidal do retângulo em torno do seu eixo horizontal é
I_{x,\text{flange,cent}}=\frac{b_f\,t_f^{3}}{12}.
Mas cada flange está deslocada verticalmente em relação ao eixo centroidal da seção composta. A distância do centroide da seção até o centro da flange é
d_f=\frac{d-t_f}{2}.
Explicação desse d_f: a flange fica na extremidade; a distância do centro à superfície externa é d/2, mas o centro da flange está a meia-espessura da flange para dentro, então d_f = \dfrac{d}{2} - \dfrac{t_f}{2} = \dfrac{d - t_f}{2}.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos para cada flange:
I_{x,\text{flange,total}} = I_{x,\text{flange,cent}} + A_{\text{flange}}\,d_f^{2} = \frac{b_f\,t_f^{3}}{12} + b_f t_f \left(\frac{d - t_f}{2}\right)^{2}.
Como há duas flanges (superior e inferior), a contribuição total das flanges para I_x é duas vezes isso.
Somando tudo:
I_x = I_{x,\text{web}} + 2\,I_{x,\text{flange,total}} = \frac{t_w\,h_w^{3}}{12} + 2\left(\frac{b_f\,t_f^{3}}{12} + b_f t_f \left(\frac{d - t_f}{2}\right)^{2}\right).
Simplificação prática (opção para a prova):
  • Muitas vezes na prova você deixa a expressão simbólica e depois substitui os valores numéricos diretos vindos da tabela. Note que h_w = d - 2t_f, então você pode escrever tudo apenas em termos de d,b_f,t_f,t_w se preferir.

Passo 5

Cálculo detalhado de I_y (momento de inércia em torno do eixo vertical centroidal) — passo a passo:
  • Usamos a decomposição nos mesmos três retângulos.
Para a alma (web) — retângulo de altura h_w e largura t_w:
I_{y,\text{web}}=\frac{h_w\,t_w^{3}}{12}.
(Neste caso não há deslocamento, pois o eixo vertical centroidal passa pelo centro da alma.)
Para cada flange — retângulo de largura b_f e espessura t_f:
I_{y,\text{flange,cent}}=\frac{t_f\,b_f^{3}}{12}.
As duas flanges têm seus centroides alinhados com o eixo vertical centroidal (não há deslocamento lateral), portanto não aplicamos teorema dos eixos paralelos para I_y.
Somando:
I_y = I_{y,\text{web}} + 2\,I_{y,\text{flange,cent}} = \frac{h_w\,t_w^{3}}{12} + 2\left(\frac{t_f\,b_f^{3}}{12}\right).

Passo 6

Cálculo dos módulos de resistência W_x e W_y em função das dimensões:
  • Lembrando que W = I / c, e que para uma seção W simétrica:
    • c_x = \dfrac{d}{2}.
    • c_y = \dfrac{b_f}{2}.
Portanto:
W_x = \frac{I_x}{c_x} = \frac{2\,I_x}{d},
com I_x dado em Passo 4.
W_y = \frac{I_y}{c_y} = \frac{2\,I_y}{b_f},
com I_y dado em Passo 5.
Reescrevendo explicitamente (tudo simbólico):
W_x = \frac{2}{d}\left[\,\frac{t_w\,h_w^{3}}{12} + 2\left(\frac{b_f\,t_f^{3}}{12} + b_f t_f \left(\frac{d - t_f}{2}\right)^{2}\right)\right],
W_y = \frac{2}{b_f}\left[\,\frac{h_w\,t_w^{3}}{12} + 2\left(\frac{t_f\,b_f^{3}}{12}\right)\right].

Passo 7

Como usar isso para “provar” os valores do Hibbeler e porque eu, aqui, ainda não posso finalizar numericamente:
  • Passos práticos para checar os números do Hibbeler:
    1. Pegue da Tabela do apêndice C (Hibbeler, p. 766) os valores numéricos de d, b_f, t_f, t_w para o perfil W690x217.
    2. Calcule h_w = d - 2t_f.
    3. Substitua d,b_f,t_f,t_w,h_w nas fórmulas de I_x e I_y dadas nos Passos 4 e 5.
    4. Calcule W_x = 2I_x/d e W_y = 2I_y/b_f.
    5. Arredonde conforme o critério do Hibbeler (normalmente os livros arredondam para 3 dígitos significativos quando expressam em \times 10^{3}\,\mathrm{mm}^3) — isso deve produzir os valores listados na tabela: 6730\times 10^{3}\,\mathrm{mm}^{3} e 1040\times 10^{3}\,\mathrm{mm}^{3}.
  • Por que eu ainda não apresentei a conta numérica completa aqui:
    • Porque as dimensões específicas do perfil (os números para d, b_f, t_f, t_w) estão na Tabela do apêndice C que você mencionou, e esses números não foram incluídos na sua mensagem. Sem esses valores não posso executar a substituição numérica e mostrar as contas aritméticas que levam exatamente aos resultados citados.
  • Se quiser que eu finalize a prova numérica completa:
    • Envie os quatro valores (ou uma foto/print da linha W690x217 do apêndice C) e eu faço a substituição numérica completa, mostrando cada operação passo a passo até chegar aos valores pedidos.
Força aí — já temos toda a receita, falta só inserir os números da tabela para “fechar” a prova numérica.

Resposta

W_x = 6730\times 10^{3}\,\mathrm{mm}^{3}
W_y = 1040\times 10^{3}\,\mathrm{mm}^{3}

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