Calcule os limites a seguir:
\(\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} \frac{\cos (x)}{1-\operatorname{sen}(x)})

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral
\lim_{x \to \bigl(\frac{\pi}{2}\bigr)^{+}} \frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}.
Este é um limite unidirecional que envolve funções trigonométricas. Para resolvê-lo, vamos usar álgebra elementar (multiplicação pelo conjugado) e analisar o sinal de \cos(x) e \sin(x) quando x se aproxima de \tfrac{\pi}{2} pela direita.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1-\sin(x), isto é, 1+\sin(x):
\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)} = \frac{\cos(x)\,\bigl(1+\sin(x)\bigr)}{\bigl(1-\sin(x)\bigr)\,\bigl(1+\sin(x)\bigr)} = \frac{\cos(x)\,\bigl(1+\sin(x)\bigr)}{1-\sin^2(x)}.
Como 1-\sin^2(x)=\cos^2(x), segue
\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)} = \frac{\cos(x)\,\bigl(1+\sin(x)\bigr)}{\cos^2(x)} = \frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}.

Passo 3

Agora estudamos o comportamento das funções quando x \to \bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^{+}:
  • \sin(x)\to1, logo 1+\sin(x)\to2.
  • \cos(x)\to0, mas como x>\tfrac{\pi}{2} temos \cos(x)<0, ou seja, \cos(x)\to0^{-}.

Passo 4

Com isso,
\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)} \;\longrightarrow\; \frac{2}{0^{-}} = -\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados