Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e.
(g) lim x 0 log (1+x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 log (1+x)x. Esse exercício está ligado ao estudo de limites, que é um conceito básico em cálculo. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas propriedades dos logaritmos e entender como os limites funcionam quando a variável se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma expressão está no formato f(x)g(x) e queremos o limite quando x se aproxima de algum valor, podemos tentar substituir esse valor diretamente se não causar indeterminação. Então, vamos tentar substituir x = 0 na expressão:
log(1 + 0)0 = log(1)0 = 00
Isso resulta em uma forma indeterminada 00. Quando isso acontece, precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que resultam em 00 é usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos aplicar essa regra:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a x:
  • Derivada de log(1 + x) em rela��ão a x é 11 + x.
  • Derivada de x em relação a x é 1.
Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital:
lim x 0 11 + x1 = lim x 0 11 + x

Passo 4

Agora, podemos substituir x = 0 diretamente nessa nova expressão:
11 + 0 = 11 = 1

Resposta

1

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